运筹学——.整数规划与分配问题

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1、第四章整数规划与分配问题对于线性规划问题，最优解可能是分数或小数。但是对于某些问题，会要求解答必须是整数（称为整数解）。对于所求解是机器的台数、完成工作的人数、装货的车数、集装箱数量等；对于一些决策变量必须取Boolean值时，如要不要在某地建工厂，可选用一个逻辑变量x，令x=0表示不在该地建厂，x=1表示在该地建厂。这时，分数或小数的解就不合要求，我们称这样的问题为整数规划。例：某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表：货物体积米3/箱重量百斤/箱利润百元/箱甲乙542520

2、10托运限制2413问两种货物各托运多少箱，可使获得的利润为最大？能否先不考虑对变量的整数约束，作为一般线性规划来求解，当解为非整数的时候可以用“四舍五入”或“凑整”方法寻找最优解？对于变量取值很大时，用上述方法得到的解与最优解差别不大；但当变量取值较小时，得到的解就可能与实际整数最优解差别很大。当问题规模较大（决策变量较多）时，用“凑整”方法来算工作量很大。例：某线性规划问题最优解为(x1,x2)=(4.6,5.5)，用凑整法需要比较与上述数据最接近的几种组合：(4,5),(4,6),(5,5),(5,6)，共四种

3、组合。若问题中有10个整数变量，则解组合达到210=1024个整数组合。且最优解未必在这些组合中。例：求整数规划问题的最优解解：用图解法得最优解为（3.25,2.5）如果不考虑整数约束（称为整数规划问题的松弛问题）最优解为（4,1），z*=14。凑整法求解：比较四个点（4,3）,（4,2）,（3,3）,（3,2），前三个都不是可行解，第四个虽然是可行解，但z=13不是最优解。(4,1)主要内容一、整数规划的特点及作用二、分配问题与匈牙利法三、分枝定界法四、应用举例第一节整数规划的特点及作用第四章整数规划及分配问题一、

4、整数规划的特点及作用1.1整数规划的概念整数规划(IntegerProgramming)：决策变量要求取整数的线性规划。如果所有的决策变量、技术系数和右端项都是非负整数，就称为纯整数规划。如果所有的决策变量都是非负整数，技术系数和右端项为有理数，称为全整数规划。如果仅一部分决策变量为整数，则称为混合整数规划。如果变量取值仅限于0或1，称为0-1整数规划。一、整数规划的特点及作用1.20-1整数规划某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟议中有7个位置（点）Ai供选择。规定在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个；

5、在西区，由A4，A5两个点中至少选一个；在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利润估计为ci元，但投资总额不能超过B元。问：应如何选址，可使年利润为最大？一、整数规划的特点及作用1.20-1整数规划0-1整数规划的一般形式:0-1整数规划一般都是纯整数规划。一、整数规划的特点及作用1.3整数规划的作用0-1整数规划在管理领域具有重要作用m个约束条件中只有k个起作用；约束条件的右端项可能是r个值(b1,b2,…br)中的某一个；两组条件中满足一组；用以表示含固定费用的函数。

6、第二节分配问题与匈牙利法第四章整数规划及分配问题二、分配问题与匈牙利法2.1分配问题(1)指派n个人去完成n项任务，使完成n项任务的总效率最高(或所需总时间最少)，这类问题称为指派问题或分配问题。安排工作（派工）：有n项加工任务，怎样指派到n台机床上完成；有n条航线，怎样指定n艘船去航行的；……二、分配问题与匈牙利法2.1分配问题(2)如果完成任务的效率表现为资源消耗，考虑的是如何分配任务使得目标函数极小化；如果完成任务的效率表现为生产效率的高低，则考虑的是如何分配使得目标函数最大化。在分配问题中，利用不同资源完成不

7、同计划活动的效率，通常用表格形式表示为效率表，表格中数字组成效率矩阵。二、分配问题与匈牙利法2.2分配问题实例(1)例：有一份中文说明书，需要译成英、日、德、俄四种文字。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下，问应指派何人去完成工作，使所需总时间最少?人员任务甲乙丙丁译成英文译成日文译成德文译成俄文2151341041415914161378119二、分配问题与匈牙利法2.2分配问题实例(2)效率矩阵用[aij]表示。aij>0(i,j=1,2,…,n)表示指派第j人去完成第i项任务

8、时的效率(时间、成本等)。人员任务甲乙丙丁译成英文译成日文译成德文译成俄文2151341041415914161378119二、分配问题与匈牙利法2.2分配问题实例(3)某项任务只能由1人完成；某人只能完成1项任务。建立整数规划模型分配问题是0-1整数规划的特例，也是运输问题的特例；n=m,aj=bj=1。二、分配问题与匈牙利法2.3匈牙利法分