质量几何和面积几何

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1、质量几何和面积几何质点系的质心、形心转动惯量、惯性矩和惯性积惯量主轴、主惯性矩第一节质点系的质量中心定义式：质点系边界m1m2mnmiOriCrC质点系的质量中心矢量式：分量式：质点系的质心（对匀质、连续的质点系）积分形式：重心（在重力场中，用静力学的合力矩定理）xyzOPixiyiziCxCyCzC形心（均质材料，质量密度为常数）积分形式：平面图形的形心（面积的一次矩）、静矩积分形式：空间组合体的形心公式：平面组合图形的形心公式：将此截面分割为两个截面例1：已知截面由半圆和矩形组合，尺寸如图，试求该组合体的形心。解：取

2、对称轴，分割法：将物体分割成有规律的几个物体，10cm8cmzy故zC=0s1s2101020101020单位cm例2：图示槽钢横截面，试求此截面形心的位置。A1=30•10=300cm2,z1=15cm；解：取对称轴，A2=20•10=200cm2,z2=5cm；A3=30•10=300cm2,z3=15cm；再分割成有规律的几个物体：中性轴zy故yc=0C1C2C3例3：用负面积法求上题槽钢横截面形心的位置。解：若将截面分割成二块有规律的矩形物体，A1是正面积，A2是负面积，代入公式结果同前。A1=30•40=120

3、0cm2,z1=15cm；A2=-20•20=-400cm2,z2=20cm；负面积法A1C1A2C2zy例4：图示均质扇形薄板，试求形心的位置。解：取对称轴当：j=/2，则:xc=(4r/3)积分法jj故yc=0xyxydSdC图示为任意板块物体，试用试验法求板块重心的位置。1）先在物体点A悬挂作垂直线；2）再在物体点B悬挂作垂直线；3）二根垂直线交点C是重心的位置。悬挂法确定重心的实验法：1、悬挂法`PABPC2、称重法ABlPxCP称15第二节刚体的转动惯量定义：xrimi刚体内每一质点的质量与其至轴x的距

4、离二次方的乘积的总和。第二节刚体的转动惯量1.刚体对轴的转动惯量也可写成：m为刚体的总质量，称为刚体对轴x的回转半径。回转半径是将整个刚体的质量等效地集中在离轴x的的点上。xmimrx定义：刚体内每一质点的质量与其至轴O的距离二次方的乘积的总和。2.刚体对点的转动惯量miOri刚体正交三轴的转动惯量分别为：3、刚体对点的转动惯量与对轴转动惯量的关系miOxyzxiyizirixriyriz因为刚体对点的转动惯量与对轴转动惯量的关系则有：对于不计厚度的平面刚体，若选刚体平面为Oxy平面，显然，则有转动惯量的相交轴定理则任一

5、质点mi的xi，yi坐标为：4、转动惯量的平行移轴定理OxyzCx′y′z′mi刚体对轴z与对轴z′的转动惯量间的关系设在质心C上建立与Oxyz平行的坐标系Cx′y′z′，刚体对任意轴的转动惯量等于其对过质心的平行轴的转动惯量加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。转动惯量的平行移轴定理：则其中由此可见，物体对通过自身质心轴的转动惯量为最小。若刚体为平面刚片且是均质的（物体的密度为常量），则刚体的转动惯量只与物体的形状有关，抽去物体的密度常数，即5、转动惯量与惯性矩的关系其中（为物体的密度）（惯性矩）定义：1）量纲：m4或

6、mm4。yzdAzyo2）惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。3）惯性矩的取值恒为正值。4）极惯性矩：（对点O而言）（图形对z轴的惯性矩）（图形对y轴的惯性矩）6、惯性矩（面积的二次矩）惯性矩与极惯性矩的关系：图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。yzdAzyo矩形平面惯性矩的计算：bhzcCycbdyhdz圆形平面惯性矩的计算：实心圆（直径D）——空心圆（外径D，内径d）——zcycczyoyczcczcyc惯性矩的平行移轴公式：例：试求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。解：

7、1、求形心坐标xyb(y)ycCdxc2、求对形心轴xc的惯性矩由平行移轴公式得：xyb(y)ycCdxc例：试求图示直径为d的半圆对其自身形心轴的惯性矩。例：试求图a所示截面对于对称轴x的惯性矩。解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。1、矩形对x轴的惯性矩：2、一个半圆对其自身形心轴xc轴的惯性矩（见上例）xyC(a)d=8040100a=10040a+2d3p3、一个半圆对x的惯性矩由平行移轴公式得：4、整个截面对于对称轴x的惯性矩：xyC(a)d=8040100a=10040a+2d3p例：试求图a所示截面对于对称

8、轴x的惯性矩。第三节刚体对任意轴的转动惯量在刚体内任选一点O为原点作固连于刚体的坐标系OxyzxyzOLmiri它与坐标轴x，y，z的夹角为。过点O作任一直线OL刚体对轴OL的转动惯量为：1、刚体对任意轴OL的转动惯量xyzOLmiriril0q刚体对任意轴OL的转动惯量上式中Jxy、Jyz、Jzx分别称为刚体对于轴