数字信号处理程佩青第三版课件第四章快速傅里叶变换FF

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1、第四章快速傅里叶变换（FFT）主要内容DIT-FFT算法DIF-FFT算法IFFT算法Chirp-FFT算法线性卷积的FFT算法§4.1引言FFT:FastFourierTransform1965年，Cooley-Turky发表文章《机器计算傅里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信号处理等。DSP芯片实现。TI公司的TMS320c30，10MHz时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。典型应用：信号频谱计算

2、、系统分析等系统分析频谱分析与功率谱计算§4.2直接计算DFT的问题及改进途径1、DFT与IDFT2、DFT与IDFT运算特点复数乘法复数加法一个X(k)NN–1N个X(k)(N点DFT)N2N(N–1)同理：IDFT运算量与DFT相同。实数乘法实数加法一次复乘42一次复加2一个X(k)4N2N+2(N–1)=2(2N–1)N个X(k)(N点DFT)4N22N(2N–1)3、降低DFT运算量的考虑FFT算法分类:时间抽选法DIT:Decimation-In-Time频率抽选法DIF:Decimation-I

3、n-Frequency§4.3按时间抽取（DIT）的FFT算法（DecimationInTime）1、算法原理设序列点数N=2L，L为整数。若不满足，则补零将序列x(n)按n的奇偶分成两组：N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。将N点DFT定义式分解为两个长度为N/2的DFT记：………（1）（这一步利用：）再利用周期性求X(k)的后半部分将上式表达的运算用一个专用“蝶形”信流图表示。注：a.上支路为加法，下支路为减法；b.乘法运算的支路标箭头和系数。用“蝶形结”表示上面运算的分解：分解后的运算量：复

4、数乘法复数加法一个N/2点DFT(N/2)2N/2(N/2–1)两个N/2点DFTN2/2N(N/2–1)一个蝶形12N/2个蝶形N/2N总计运算量减少了近一半进一步分解由于，仍为偶数，因此，两个点DFT又可同样进一步分解为4个点的DFT。“蝶形”信流图表示N点DFT分解为四个N/4点的DFT类似的分解一直继续下去，直到分解为最后的两类蝶形运算为止(2点DFT).如上述N=8=23，N/4=2点中：类似进一步分解1点DFTx(0)1点DFTx(4)X3(0)X3(1)进一步简化为蝶形流图：X3(0)X3(1

5、)x(0)x(4)因此8点FFT时间抽取方法的信流图如下——FFT运算量与运算特点1．N=2L时，共有L=log2N级运算；每一级有N/2个蝶形结。2．每一级有N个数据中间数据），且每级只用到本级的转入中间数据，适合于迭代运算。3．计算量：每级N/2次复乘法，N次复加。（每蝶形只乘一次，加减各一次）。共有L*N/2=N/2log2N次复乘法；复加法L*N=Nlog2N次。与直接DFT定义式运算量相比(倍数)N2/(Nlog2N)。当N大时，此倍数很大。比较DFT参考P150表4-1图4-6可以直观看出，当点

6、数N越大时，FFT的优点更突出。按时间抽取FFT蝶形运算特点1、关于FFT运算的混序与顺序处理（位倒序处理）由于输入序列按时间序位的奇偶抽取，故输入序列是混序的，为此需要先进行混序处理。混序规律：x(n)按n位置进行码位（二进制）倒置规律输入，而非自然排序，即得到混序排列。所以称为位倒序处理。位倒序实现：（1）DSP实现采用位倒序寻址（2）通用计算机实现可以有两个方法：一是严格按照位倒序含义进行；二是倒进位的加N/2。倒位序自然序000000001004100101022010110630110011410

7、0101551010113611011177111倒位序例计算，。计算点FFT。用时间抽取输入倒序算法，问倒序前寄存器的数和倒序后的数据值？解：倒序前倒序倒序为倒序后DITFFT中最主要的蝶形运算实现（1）参与蝶形运算的两类结点（信号）间“距离”（码地址）与其所处的第几级蝶形有关；第m级的“结距离”为(即原位计算迭代）（2）每级迭形结构为蝶形运算两节点的第一个节点为k值，表示成L位二进制数，左移L–m位，把右边空出的位置补零，结果为r的二进制数。（3）的确定：第m级的r取值：DIT算法的其他形式流图输入倒位

8、序输出自然序输入自然序输出倒位序输入输出均自然序相同几何形状输入倒位序输出自然序输入自然序输出倒位序参考P154-155时间抽取、输入自然顺序、输出倒位序的FFT流图例用FFT算法处理一幅N×N点的二维图像，如用每秒可做10万次复数乘法的计算机，当N=1024时，问需要多少时间（不考虑加法运算时间）？解当N=1024点时，FFT算法处理一幅二维图像所需复数乘法约为次，仅为直接计算DFT所需时间的10万分之一。即