量子码[[n,k,d]]p(p〉3,n+k=8)存在性的图论构造方法

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1、第31卷第6期工程数学学报Vo1．31N。．62014年12月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSDec．2014doi：10．3969／j．issn．1005—3085．2014．06．008文章编号：1005—3085(2014)06—0865—07量子码[In，k，]p(P>3，+=8)存在性的图论构造方法木程茜，马建萍(青海师范大学数学系，西宁810008)摘要：量子纠错编码技术在量子信息理论中一直以来有着重要的地位．在量子纠错编码方案中，Schingemann和Werner两人提出了通过构造具有某些性质

2、的图(矩阵1来构造非二元量子码的方法，他们利用这种图论方法构造出了很多好的量子码，并给出了量子码，1，3(P为大于2的素数)存在性的一个新证明．本文利用此法，通过构造上满足特殊性质的8阶对称矩阵，证明对任意大于3的素数P，码长n与维数之和等于8的所有MDS码(达到量子Singleton界1都存在．关键词：非二元量子码；量子MDS码；纠错码；对称矩阵分类号：AMS(2000)94B60中图分类号：TN918．1文献标识码：A1引言量子纠错编码技术在量子信息理论中一直以来有着重要的地位．然而，在量子物理学中的量子位退相干问题和不可克隆定理，使得经典纠错编码

3、技术中通过简单复制保护信息位的方法不可能用于量子信息理论中．1995到1996年，Shor[]和Steane[0]才分别独立地提出了两个著名的量子纠错编码方案．Shor的第一个纠错方案为量子重复码，它利用9比特来编码1比特信息，可以纠正1位错．Shot的方案简单，而且与经典重复码有较直接的类比，但它的效率不高．事实上，Steane的编码方案对后来的量子纠错码影响更大．在该方案中，Steane提出了互补基的概念，给出了量子纠错一些一般性的描述，并具体构造了一个利用7比特来编码1比特纠1位错的量子码．1998年，Calderbank，Shor和Steane

4、[。]提出了一个从经典纠错码构造量子纠错码的方法，给出了通过构造F2和上具有某种特性的经典纠错码来构造量子纠错码(稳定子码1的系统数学方法．2001年，Schingemann和Werner[4]两人提出了通过构造具有某些性质的图f矩阵)来构造量子码的方法．他们利用这种图论方法构造出了很多好的量子码．特别地，他们给出了量子码【[5，1，3(P3)的一个构造(本文中P表示素数)．2002年，Feng[]用此方法构造出量子码[[6，2，3和[[7，3，33)．与经收稿日期：2013—07—12．作者简介：程茜(1975年12月生)，女，硕士，副教授．研究方向

5、：量子编码及半群代数基金项目：青海省自然科学基金(2011一Z一734；2011一Z一756)；青海师范大学创新科学基金(2012—4—12)．工程数学学报第31卷典情形类似，在量子纠错码理论中也存在Singleton界：对于任意量子码[In，k，翻】，都有佗+2d一2，显然，上面所提到的量子码都达到了量子Singleton界，并且是MDS(nk+2d一2中等号成立)码．2005年，刘太琳等【。】也利用图论方法构造出了MDS量子码[Is，2，4】](P3)．文献[7]亦用此方法构造了[[7，1，4]](P>3)MDS量子码．本文用此方法证明了所有n-t

6、-=8的MDS量子码[In，，d]](P>3)的存在性．2预备知识在本节中，我们将给出Schlingemann和Werner所提出的构造量子码的图论方法．设和y是两个互不相交的集合，且IXI=k，1y1=n，G=(v(a)，E(G))是一个以V：v(a)=XuY为点集，以E=E(a)=V×V为边集的加权图，它的任意边丽∈E(，V∈V)的权为auv(=a)∈．显然，这样一个图由上的一个(n+)×(n+k)对称矩阵A=A(G)=(auv)所完全确定．任取的两个子集S和，记AST=AsT(G)=(auv)∈S，∈T．显然AST是的一个1S1×ITI子阵．类似

7、地，向量空间I=+中的任意一个向量可写成d=(dⅥ，d，⋯，d+)T={lV∈)的形式，这里V=vl，V2，⋯，Vn+k}和dv。∈．对于的任意一个子集S，记ds={dsls∈S)∈s例如：设E是y的一个含有d一1个元素的子集，I=Y＼E，那么d可写成d=(dx，dE，de)T的形式，A=A(C)和dy的乘积可表示为=三著)()=(誊现在，我们可以叙述Schlingemann和Werner两人给出的主要结论．引理1【1设d2，0，nk+2d一2，P是奇素数，和y是两个互不相交的集合，且lXJ=k，JYI=n，G=((G)，E(G))是一个以V：v(a)

8、=XuY为点集，以E=E(G)=V×V为边集的加权图，它的任意边丽∈E(，∈V)的权为a(：a