2019高考数学二轮复习专题三数列第二讲数列的综合应用教案理

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1、第二讲　数列的综合应用年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018Ⅱ卷等差数列的通项公式和前n项和公式·T17命题分析数列在解答题中的考查常从数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列、不等式的证明等加以综合．试题难度中等．学科素养通过递推关系求通项，根据通项结构选择恰当的求和方法求和.2016Ⅱ卷等差数列的基本运算·T17Ⅲ卷等比数列的通项公式、an与Sn的关系·T17由递推关系求通项授课提示：对应学生用书第30页[悟

2、通——方法结论]　求数列通项常用的方法17(1)定义法：①形如an＋1＝an＋C(C为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如an＋1＝kan(k为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列．(2)叠加法：形如an＋1＝an＋f(n)，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)，求其通项公式．(3)叠乘法：形如＝f(n)≠0，利用an＝a1···…·，求其通项公式．(4)待定系数法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an

3、－t)，其中t＝，再转化为等比数列求解．(5)构造法：形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先在原递推公式两边同除以qn＋1，得＝·＋，构造新数列{bn}，得bn＋1＝·bn＋，接下来用待定系数法求解．[全练——快速解答]1．(2018·洛阳四校联考)已知数列{an}满足条件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则数列{an}的通项公式为(　　)A．an＝2n＋1　B．an＝C．an＝2nD．an＝2n＋2解析：由题意可知，数列{an}满足条件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则n≥2时，有a1＋a2＋a3＋

4、…＋an－1＝2(n－1)＋5，n≥2，两式相减可得，＝2n＋5－2(n－1)－5＝2，∴an＝2n＋1，n≥2，n∈N*.当n＝1时，＝7，∴a1＝14，综上可知，数列{an}的通项公式为an＝答案：B2．(2018·潮州月考)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1，n∈N*)，则数列{an}的通项公式是________．解析：法一：由an＋1＝2Sn＋1可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)．又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1，故{an}是首项为

5、1，公比为3的等比数列，17∴an＝3n－1.法二：由于an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3，所以数列为首项是S1＋＝，公比为3的等比数列，故Sn＋＝×3n－1＝×3n，即Sn＝×3n－.所以，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，由n＝1时a1＝1也适合这个公式，知所求的数列{an}的通项公式是an＝3n－1.答案：an＝3n－13．(2018·福州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.(1)证明数列{an}是等比数列；(2)设bn

6、＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，所以a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，an＝2n－1，所以bn＝(2n－1)×2n－1，所以Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1①2Tn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n②由①－②得－Tn＝1＋2×(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－

7、1)·2n＝1＋2×－(2n－1)×2n＝(3－2n)×2n－3，所以Tn＝(2n－3)×2n＋3.由an与Sn关系求通项公式的注意事项　(1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论，特别注意an＝Sn－Sn17－1中需n≥2.(2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合，则需统一“合写”．(3)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝数列求和授课提示：对应学生用书第31页[悟通——方法结论]　常用求和方法(1)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和

8、一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即