2019高考数学二轮复习专题三数列第二讲数列的综合应用教案理

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1、第二讲 数列的综合应用年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018Ⅱ卷等差数列的通项公式和前n项和公式·T17命题分析数列在解答题中的考查常从数列的相关项以及关系式,或数列的前n项和与第n项的关系入手,结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开,求解数列的通项、前n项和,有时与参数的求解、数列、不等式的证明等加以综合.试题难度中等.学科素养通过递推关系求通项,根据通项结构选择恰当的求和方法求和.2016Ⅱ卷等差数列的基本运算·T17Ⅲ卷等比数列的通项公式、an与Sn的关系·T17由递推关系求通项授课提示:对应学生用书第30页[悟

2、通——方法结论] 求数列通项常用的方法17(1)定义法:①形如an+1=an+C(C为常数),直接利用定义判断其为等差数列.②形如an+1=kan(k为非零常数)且首项不为零,直接利用定义判断其为等比数列.(2)叠加法:形如an+1=an+f(n),利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1),求其通项公式.(3)叠乘法:形如=f(n)≠0,利用an=a1···…·,求其通项公式.(4)待定系数法:形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0),先用待定系数法把原递推公式转化为an+1-t=p(an

3、-t),其中t=,再转化为等比数列求解.(5)构造法:形如an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0),先在原递推公式两边同除以qn+1,得=·+,构造新数列{bn},得bn+1=·bn+,接下来用待定系数法求解.[全练——快速解答]1.(2018·洛阳四校联考)已知数列{an}满足条件a1+a2+a3+…+an=2n+5,则数列{an}的通项公式为(  )A.an=2n+1 B.an=C.an=2nD.an=2n+2解析:由题意可知,数列{an}满足条件a1+a2+a3+…+an=2n+5,则n≥2时,有a1+a2+a3+

4、…+an-1=2(n-1)+5,n≥2,两式相减可得,=2n+5-2(n-1)-5=2,∴an=2n+1,n≥2,n∈N*.当n=1时,=7,∴a1=14,综上可知,数列{an}的通项公式为an=答案:B2.(2018·潮州月考)数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,n∈N*),则数列{an}的通项公式是________.解析:法一:由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2).又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1,故{an}是首项为

5、1,公比为3的等比数列,17∴an=3n-1.法二:由于an+1=Sn+1-Sn,an+1=2Sn+1,所以Sn+1-Sn=2Sn+1,Sn+1=3Sn+1,所以Sn+1+=3,所以数列为首项是S1+=,公比为3的等比数列,故Sn+=×3n-1=×3n,即Sn=×3n-.所以,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1,由n=1时a1=1也适合这个公式,知所求的数列{an}的通项公式是an=3n-1.答案:an=3n-13.(2018·福州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1.(1)证明数列{an}是等比数列;(2)设bn

6、=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn.解析:(1)证明:当n=1时,a1=S1=2a1-1,所以a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1),所以an=2an-1,所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)知,an=2n-1,所以bn=(2n-1)×2n-1,所以Tn=1+3×2+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1①2Tn=1×2+3×22+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n②由①-②得-Tn=1+2×(21+22+…+2n-1)-(2n-

7、1)·2n=1+2×-(2n-1)×2n=(3-2n)×2n-3,所以Tn=(2n-3)×2n+3.由an与Sn关系求通项公式的注意事项 (1)应重视分类讨论思想的应用,分n=1和n≥2两种情况讨论,特别注意an=Sn-Sn17-1中需n≥2.(2)由Sn-Sn-1=an推得an,当n=1时,a1也适合,则需统一“合写”.(3)由Sn-Sn-1=an推得an,当n=1时,a1不适合,则数列的通项公式应分段表示(“分写”),即an=数列求和授课提示:对应学生用书第31页[悟通——方法结论] 常用求和方法(1)错位相减法:适用于各项由一个等差数列和

8、一个等比数列对应项的乘积组成的数列.把Sn=a1+a2+…+an两边同乘以相应等比数列的公比q,得到qSn=a1q+a2q+…+anq,两式错位相减即

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