微积分学的研究对象是函数

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1、微积分学的研究对象是函数．函数概念是数学中的一个基本而重要的概念．直到公元1837年，德国数学家P.G.L.狄利克雷（Dirichlet,1805-1859)才提出现今通用的函数定义，使函数关系更加明确，从而推动了数学的发展和应用．背景1.1函数1.1.1函数的概念1.1.2初等函数1.1.3分段函数1.1.1函数的概念一、案例二、概念和公式的引出三、进一步的练习一、案例我们知道，一天的气温随着时间的时间之间的变化关系呢？变化而变化．如何准确地表示气温与案例1[气温与时间的关系]案例2[圆面积公式]圆的面积

2、A与半径r的函数关系为二、概念和公式的引出函数函数常用的表示法有三种：解析法、列表法和图形法．设x和y是两个变量，D是一个给定的数集。如果对于每一个数x，变量y按照一定的法则总有确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。(1)解析法如函数的定义域为，值域为y=f(x)因变量法则自变量解析法的优点是便于数学上的分析和计算．(2)列表法列表法的优点是直观、精确．内气温（单位：oC）的变化规律．时刻t10:00气温T10:2010:4011:0011:2011:4012:

3、00181818.519202123下表列出了在上午10:00到中午12:00每隔20min测得的气温数据，由此可以观察出这段时间(3)图形法通过心电图的比较，医生可以诊断出该人健康人的心电图病人的心电图图形法的优点是直观、通俗、容易比较是否患有心脏病．三、进一步的练习练习1[自由落体运动方程]在自由落体运动中，物体下落的距离随下落时间的变化而变化，下落距离s与时间t之间的其中g为重力加速度．函数关系为:练习2[波形函数]在电子科学中，有大量波形函数，如下图为周期为T的一锯齿形波的图象．此函数在一个同期上可

4、用解析法表示为练习3[股票曲线]股票在某天的价格随时间的变化关系常用图形表示，如下图所示为某一股票在某天的走势图。从股票曲线，我们可以看出这只股票在当天的价格和成交量波动情况。练习4[物理实验]设某一物理现象的数学关系为，用实验测得ti时刻的值，见下表所示…………1.1.2初等函数一、案例二、概念和公式的引出三、进一步练习一、案例[生产利润]元，如果每件玩具卖48元，那么公司生产x件玩具某一玩具公司生产x件玩具将花费获得的净利润是多少？解经过简单的分析，可以得到该公司生产x件玩具获得的净利润y为利润=销售收

5、入-成本基本初等函数为以下五类函数：，是常数二、概念和公式的引出基本初等函数(1)幂函数(2)指数函数(3)对数函数(a是常数且)(a是常数且)正弦函数余弦函数正切函数余切函数(4)三角函数，，，，，，，，，，反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数(5)反三角函数若y是u的函数y=f(u)，u是x的函数复合函数因变量外部函数内部函数，当x在的定义域或其一部分取值时，的值均在的定义域内，从而得到一个以x为自变量，y为因变量的函数，这个复合函数，u称为中间变量，记作函数称为由函数复合而成的和由常数及基本初等函

6、数经过有限次四则运算及有限次的复合所构成并且可以用一个式子表示的而不是初等函数。初等函数函数，称为初等函数.如等都是初等函数，，某工厂生产计算机的日生产能力为0到100台，工厂维持生产的日固定费用为4万元，生产一台计算机的直接费用(含材料费和劳务费)是4250元．试建立该厂日生产台计算机的总费用函数，并指出其定义域．三、进一步练习练习1[生产费用]解设该厂日生产x台计算机的总费用为y（单位：元），则y为日固定费用和生产x台计算机所需总费用之和，即由于该厂每天最多能生产100台计算机，所以定义域为{}一汽车租

7、赁公司出租某种汽车的收费标准为:每天的基本租金200元，另外每公里收费为15元/km。(1)试建立每天的租车费与行车路程公里之间(2)若某人某天付了400元租车费，问他开了练习2[汽车租赁]的函数关系；多少公里?解(1)设每天租车费为x,则y为每天的基本租金(2)把400代入（1）中的函数得:400=200+15,200和当天开车x公里所收费用15x之和,即(km)1.1.3分段函数一、案例二、概念和公式的引出三、进一步练习一、案例[矩形波的函数表示]如图为一个矩形波在一个周期内的图形，用解析式表示为:二、

8、概念和公式的引出分段函数在不同的定义域上用不同的函数表达式表示的函数称为分段函数．三、进一步练习练习1[绝对值函数]练习2[符号函数]练习3[特征函数]练习4[单位阶跃函数]其中是A数集，此函数常用于计数统计．单位阶跃函数是电学中一个常用函数，研究它可表示为额（表中仅保留了原表中前2级的税率）．级数全月应纳税所得额税率(％)1不超过500元部分52超过500元至2000元部分10纳税金额之间的函数关系。练习5[个