欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:39637549
大小:175.00 KB
页数:5页
时间:2019-07-08
《关于费马点知识总结》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、费马点一、研究目的费马点是17世纪法国著名的数学家费马发现的。所指的是在三角形所在的平面上,有一个点到三角形三个顶点距离之和最小。而费马点有许多有意义的性质,即为此,本人以费马点的性质为因来进行一系列的调查与研究。二、研究结果(一)费马点的发现者费马点的发现者是费马[Fermat,Pierrede,1601-1665],17世纪的法国数学家。1601年8月17日在法国南部图卢兹附近波蒙--德洛马涅出生。早年于家乡受教育,后入图卢兹大学供读法律,毕业后任职律师。自1631年起任图卢兹议会议员。任职期间,他利用
2、工余时间钻研数学,并经常以书信与笛卡儿、梅森、惠更斯等著名学者交往,讨论数学问题。他饱览群书,精通数国文字,掌握多门自然科学的知识。虽年近三十才认真注意数学,但成就累累。最后于1665年1月12日在卡斯特尔逝世。他生前由于性情淡泊,为人谦逊,因此较少发表论着,大多成果只留在手稿、通信或书页之空白处。他的儿子于1679年把这些遗作整理汇集成书[共两卷],在图卢兹出版。由于他在数论、解析几何、概率论等方面贡献良多,被后世誉为「业余数学家之王」。(二)费马点的求法△ABC需是三个内角皆小于120°三角形,分别以A
3、B、BC、CA为边,向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE,然后连接DC、BE,则二线交于一点,记作点P,则点P就是所求的费马点。(三)费马点的验证1.△ABC是等边三角形,以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形,连接DC、EB,交点为点P,点P为费马点。则可得出结论:①AP=BP=CP;②∠APB=∠BPC=∠APC=120°;③点P是内心,是在三角形三个内角的角平分线的交点;④点P是垂心,是△ABC各边的高线的交点;⑤△ABP、△ACP、△BCP全等。⑥点P是△ABC各边的中线的交点;⑦△ABC
4、的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P为费马点时和最小。2.△ABC是等腰三角形,以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形,连接DC、EB,交点为点P,点P为费马点。则可得出结论:①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P为费马点时和最小;②∠APB=∠BPC=∠APC=120°;③△ABP与△ACP全等;④△BCP为等腰三角形。3.△ABC是直角三角形,以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形,连接DC、EB,交点为点P,点P为费马点。则可得出结论:①△ABC的三顶点的距离之和为
5、AP+BP+CP,且点P为费马点时和最小;②∠APB=∠BPC=∠APC=120°(四)费马点的性质1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°3.费马点为三角形中能量最低点。(调查得知)4..三力平衡时三力夹角皆为120°,所以费马点是三力平衡的点。(调查得知)(五)费马点的应用在实际生活中,若三角形的三个顶点分别是在三个地方,而要求是在“三角形”内建一处车站等,且要是车站到三个地方的公路路程和最短,可利用费马点的性质①:费马点到三角形三个顶点距离之和最小。则这车站应
6、建在费马点上。三、结论由此次研究可让我们知道,若想要在某方面做出伟大成就必先努力、锲而不舍的钻研,就如胡适所言:“做学问要再不疑处有疑……”。并且,将成就运用于生活,服务生活,方便生活,才是他们的价值所在!二、找费马点在平面上一三角形,试找出内部一点,使得为最小。首先,让我们先找到点的性质,再来研究怎么做出点。点有什么性质呢?它的位置是否有什么特殊意义呢?在中学里,我们学过三角形的内心、外心、重心以及垂心,点和这些心之间有关联吗?还是和有些线段长、角度大小有关系呢?、和很接近,这三个角度有何关联?【解法1】
7、如右图,以点为中心,将旋转到因为旋转,且,所以为一个正三角形因此,由此可知当、、、四点共线时,为最小若共线时,则同理,若共线时,则所以点为满足的点。但是,该用什么方法找出点呢?以三边为边,分别向外作正三角形、、连接、、、、三线共点,设交点为,即为所求【证明1】(在解法1曾提到若,即四点共线时,有最小值,所以要在上。)则,得在上取点,使得为正三角形则,得所以【证明2】,又四点共圆()所以故,因此在上同理可证在、上,故为、、三线交点三、画出费马点经过上面的讨论,可以知道,在平面上,想找出一点,使为最小,方法为:
8、分别以、为边长做出正三角形及,连接、,两线交于一点,点即为费马点。使用上述方法需要注意到一点,的每一个内角均小于,如果其中有一内角大于,那么点就是最大内角的顶点。
此文档下载收益归作者所有