平面线弹性问题的有限元

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1、第三章平面线弹性问题的有限元涂国祥《有限元基础》成都理工大学环境与土木工程学院有限单元法的基本原理及步骤Lxdxq如图所示受其自重作用的等截面直杆，上端固定，下端自由。设单位杆长的重力为q，杆长为L，横截面面积为A，材料弹性模量为E，试求直杆各横截面上的应力。xo材料力学解从直杆任一截面取一微段dx，并令该微段截面上的内力为N(x)，则该微段的伸长量为第三章平面线弹性问题的有限元1234R1R2R3①③②xR4ijeuiuj有限元解其中成直线关系，它们反映了单元的位移形态，所以称为形函数。单元的位移函数取则记则令写成矩阵形式位移列向量则第三章平面线弹性问题的有限元由几何方程得

2、：由于所以若记矩阵[B]反映了单元应变与节点位移之间的关系，称之为应变矩阵第三章平面线弹性问题的有限元由物理方程得：若记则其中矩阵[G]反映了单元应力与节点位移之间的关系，称之为应力矩阵第三章平面线弹性问题的有限元如果知道节点位移就可以求出单元应力和应变，如何求节点位移？可以利用虚功方程来分析单元得节点受力与节点位移的关系对于单元来说，节点力为外力外力所作的虚功为内力所作的虚功为根据虚功原理，单元虚功方程为由于而假定单元虚应变与节点位移具有如下关系第三章平面线弹性问题的有限元则由于节点虚位移是任意的，所以若记则单元平衡方程其中矩阵[K]e反映了单元的节点力与节点位移之间的关系

3、，称为单元刚度矩阵其中（r，s＝i，j；r＝s时取“＋”；r≠s时取“－”）第三章平面线弹性问题的有限元则利用节点平衡方程，可以建立包括整个结构的以节点位移为未知量的线性代数方程组。节点1节点3节点2节点4RR1①R2②R2①R3③R4③R3②F1①F2②F2①F3③F3②F4③第三章平面线弹性问题的有限元①③②单元1234节点写成矩阵形式第三章平面线弹性问题的有限元对于具体单元，将矩阵升阶到4×4阶以后得第三章平面线弹性问题的有限元（r，s＝1，2，3，4；r＝s时取“＋”；r≠s时取“－”）第三章平面线弹性问题的有限元已知u1＝0，修正总体平衡方程得：解之得：该结果与材料

4、力学的精确解答相同第三章平面线弹性问题的有限元第三章平面线弹性问题的有限元§3.1有限单元法求解过程的一般步骤1.研究区域离散化就是将所研究问题的区域划分成有限大小不等的单元体，并在单元体的指定点设置节点，把相邻的单元体在节点处连接起来组成单元的集合体，以代替所研究问题的原区域；并以所离散单元节点处的位移作为基本未知量。边坡有限单元模型第三章平面线弹性问题的有限元§3.1有限单元法求解过程的一般步骤2.选择位移模式离散后，采用节点位移为基本未知量，因此需要用节点位移表示单元体的位移。必须对单元中位移分布作出一定的假设，一般假定位移是坐标的某种简单函数，这种函数称为位移模式或位

5、移函数。一般选用多项式（不完全的泰勒级数）位移模式——节点位移与单元内任意一点位移的关系式单元内任意一点的位移列阵形函数矩阵（其元素是位移坐标的函数）单元节点的位移列阵有限元法比经典的近似法在位移函数的选取上具有明显的优越性。其中，多项式的项数为单元的自由度，阶数应含常数项和线性项。第三章平面线弹性问题的有限元§3.1有限单元法求解过程的一般步骤3.单元分析利用选定的位移模式，可进行单元力学特征分析（即用节点位移表示单元应变，单元应力，节点力）①利用几何方程，导出用节点位移表示单元应变的公式②利用物理方程，导出用节点位移表示单元应力的公示③利用虚功原理建立节点位移与节点力的关

6、系第三章平面线弹性问题的有限元§3.1有限单元法求解过程的一般步骤4.计算节点荷载将作用在单元边界上的表面力以及作用于单元上的体积力、集中力等等效地移植到节点上，也就是用等效的节点荷载来替代作用在单元上的力。（移植必须遵循静力等效或虚功等效原则）5.集合所有单元的刚度方程，建立整个结构的平衡方程总体刚度矩阵位移列阵（未知量）荷载列阵（已知量）第三章平面线弹性问题的有限元§3.1有限单元法求解过程的一般步骤6.引入位移边界条件，修正总体平衡方程7.解方程，求未知节点位移及单元应力应变由于已形成的总体矩阵[K]为一奇异矩阵，即其不存在逆矩阵[K]-1。因此引入位移边界条件（或约束

7、条件）修正刚度矩阵的奇异性（力学意义：即为消除结构的刚体运动）。第三章平面线弹性问题的有限元§3.2位移模式及单元分析1.位移模式即假定的单元内任意一点位移与坐标X，Y的某种函数关系式，用以描述单元内部的位移形态。三角形的节点位移ijm第三章平面线弹性问题的有限元根据弹性力学的原理，外力总可以等效地移植到节点→节点力只要有节点力就会产生节点位移。∴对于三角形单元，有三个节点，就有6个位移分量（ui，vi，uj，vj，um，vm，也即有6个自由度），可以求出6个系数。∴我们可以将三角形单元的位移模式假设为