螺线管磁场的另一计算方法

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1、第16卷第2期高等函授学报(自然科学版)Vol.16No.22003年4月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)April2003文章编号:1006-7353(2003)02-0014(05)-03X螺线管磁场的另一计算方法王国强(郧阳师范高等专科学校物理系,湖北丹江口442700)摘要:无限长载流螺线管磁场的计算方法在现有教材中都是使用螺绕环中心轴线的磁场来计算的,得到螺线管内部磁场是匀强磁场,外部磁场为零,这种方法只能说明

2、螺线管中心轴线的磁场,对其它区域没有说服力.现介绍另一种计算方法,能全面定量计算螺线管磁场分布。关键词:螺线管;磁场;毕-萨定律中图分类号:O411.3文献标识码:A在电磁学理论中,库仑定律、毕-萨定律、法拉第电磁感应定律是构成电磁学理论的三大支柱,其中毕奥-萨伐尔定律是电磁学磁场部分的重要内容,是构成稳恒磁场理论的基础。现[1][2]有教材在毕-萨定律应用时都涉及到无限长载流密绕螺线管的磁场计算,都是通过螺绕环中心轴线的磁场来计算的,得到无限长载流螺线管内部磁场为匀强磁场,外部磁场为零的结论。这

3、种方法,实际上只能说明螺线管中心轴线的磁场,对其它区域没有说服力。现介绍另一种计算方法,能全面定量计算螺线管磁场分布。一无限长载流密绕螺线管,其横截面为圆形。设螺线管的半径为a,轴线沿直角坐标系z轴,单位长度线圈的匝数为n,每匝的电流为I,源点G的坐标为(a,θ′,z′),或直角坐标为(x′,y′,z′),图1电流元和场点在坐标系中的坐标如图1所示。该处电流元dIdl在空间任一场点(ρ,θ,z)处的磁场可由毕奥-萨伐尔定律确定。由于磁场分布具有圆柱对称性,因此,任意场点处的磁场应与坐标θ无关,可令

4、θ=0的P点(ρ,0,z)作为场点来考察,而不会失去其普遍性。由图1可知,源点处G的电流元dIdl在场点P处的磁感应强度为μ0dIdl×RdB=3(1)4πR图2线元dl在xy平面内的分量式中dI=nIdz′表示dz′宽度内有ndz′匝线圈所流过的电流强度,R为由源点G向场点P所X收稿日期:2002-12-1814第16卷第2期高等函授学报(自然科学版)Vol.16No.22003年4月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)A

5、pril2003引的矢径。(1)式可写为μ0nIdz′dl×RdB=3(2)4πR式中dl=adθ′θ^,θ′是G点的方位角,θ^是θ′坐标方向上的单位矢量。它在xy平面上的x、y分量,由图2可得到dl=dlsinθ′(-^i)+dlcosθ′^j=-asinθ′dθ^i+acosθ′dθ^j(3)而矢径R为R=(x-x′)^i+(0-y′)^j+(z-z′)^k=(ρ-acosθ′)^i+(-asinθ′)^j+(z-z′)^k(4)将(3)、(4)式代入(2)式,得μ0nIdz′(-asinθ

6、′dθ^i+acosθ′dθ^j)×[(ρ-acosθ′)^i+(-asinθ′)^j+(z-z′)^k]dB=4π2223/2[(ρ-acosθ′)+(-asinθ′)+(z-z′)]于是由上式得到的dB三个分量式为μ0nIdz′(z-z′)acosθ′dθ′dBx=4π2223/2[ρ+a-2ρacosθ′+(z-z′)]μ0nIdz′(z-z′)asinθ′dθ′dBy=4π2223/2(5)[ρ+a-2ρacosθ′+(z-z′)]μ0nIdz′a(a-ρcosθ′)dθ′dBz=4π22

7、23/2[ρ+a-2ρacosθ′+(z-z′)]由电流元dIdl在场点P产生的dB(dBx^i+dBy^j+dBz^k),可以求出宽为dz′的圆电流在P点的磁场,进而可求出整个螺线管电流在P点的磁场B。这就需要对(5)式作关于θ′、z′的二重积分。对(5)式作积分时,即+∞+πμ0nIa(z-z′)sinθ′dθ′By=4π∫dz′∫2223/2[ρ+a-2ρacosθ′+(z-z′)]-∞-π由于被积函数f(θ′)为一奇函数,故By=0(无论ρ>a还是ρ

8、分量)。求Bx、Bz的积分时,注意积分技巧:若按常规,则遇到椭圆积分,比较困难,但如果先对Z′积分,再对θ′积分,就比较简单。+π+∞μ0nI(z-z′)dz′Bx=4π∫acosθ′dθ′∫2223/2[ρ+a-2ρacosθ′+(z-z′)]-π-∞xdx1由积分公式∫223/2=-221/2,且dz′=-d(z-z′),上式中后面的积分为(a+x)(a+x)+∞-(z-z′)d(z-z′)∫2223/2=0,[ρ+a-2ρacosθ′+(z-z′)]-∞故Bx=0(积分过程略