第十一章北航 材料力学 全部课件 习题答案

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1、第十一章压杆稳定问题11-1图示两端铰支刚杆－蝶形弹簧系统，试求其临界载荷。图中，c代表使蝶形弹簧产生单位转角所需之力偶矩。题11-1图解：系统的临界状态（微偏斜状态）如图11-1所示。注意到蝶形弹簧产生的转角为2θ，由右段刚杆的力矩平衡方程lc(2θ)F(θ)02得4cFcrl图11-111-2图示刚杆－弹簧系统，图中的c，c1与c2均为弹簧常数，试求系统的临界载荷。题11-2图(a)解：设系统微偏转如图11-2a(1)所示，铰链C的铅垂位移用表示,于是得杆BC(连带铰链C)的受力如图11-2a(2)所示，由平衡方程cM

2、C0,lF02得系统的临界载荷为clFcr21图11-2a（b）解：设系统微偏转如图11-2b(1)所示，铰链A与B的铅垂位移分别用与表示,于是得杆AB的受力如图11-2b(2)所示，杆的平衡方程为Fy0,c22c110(a)MA0,c22lF(12)0(b)由式（b）得c22lF(c)12由式（a）得c112c2代入式（c），于是得系统的临界载荷为c1c2lFcrc1c2图11-2b11-3图示结构，AB为刚性杆，BC为弹性梁，各截面的弯曲刚度均为EI。在刚性杆顶端

3、承受铅垂载荷F作用，试求其临界值。2题11-3图解：结构的临界状态示如图11-3。图11-3使梁B端截面产生转角θB的力矩应为3EIMeθBl而MeF(θBa)由此得3EIFal即3EIFcral11-4图示刚性杆AB，下端与圆截面钢轴BC相连。为使刚性杆在图示铅垂位置保持稳定平衡，试确定轴BC的直径d。已知F=42kN，切变模量G=79GPa。3题11-4图解：刚性杆AB在微偏斜（设偏斜角为，见图11-4）状态下处于平衡，此时加给轴BC的扭力矩为MBFa而TlGIp注意到TMB，于是得GIpFal即GIπGd4

4、pFcral32al由此得（题中给出F=42kN）3234alFcr4320.5000.3004210dm0.030m30mm9πGπ7910图11-4411-6图示细长压杆，弯曲刚度EI为常数，试按§11-2所述方法确定杆的临界载荷。题11-6图解：设自由端的挠度为，则M(x)F(w)挠曲轴近似微分方程为EIwFwF或wkwk式中，2Fk(a)EI上述微分方程的通解为wCcoskxDsinkx(b)位移边界条件为当x0时，w0；当x0时，w0；当xl时，w由

5、式(b)与上述边界条件，得D0Ccoskl0由上式得nπkl(n0,1,2,)(c)2将式(c)代入式(a)，得22nπEIFcr(n0,1,2,)24l由上式并取n=1，即得压杆的临界载荷为2πEIFcr24l11-7试确定图示各细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度EI为常数。题11-7图(a)解:相当长度为5leqa临界载荷为2πEIFcr2a(b)解：压杆微弯状态的挠曲轴如图11-7b中的虚线所示。图11-7b半个正弦波的长度为a，即leqa由此得临界载荷为2πEIFcr2a11-8图示正方形桁

6、架，各杆各截面的弯曲刚度均为EI，且均为细长杆。试问当载荷F为何值时结构中的个别杆件将失稳？如果将载荷F的方向改为向内，则使杆件失稳的载荷F又为何值？题11-8图解：1.当F向外时竖向杆CD受压，其余四根杆受拉。设杆CD编号为5，则有FFN5由此得22πEIπEIFcr22(2l)2l2.当F向内时此时杆5受拉，其余各杆（编号1，2，3，4）受压。且6FFN1FN2FN3FN42由此得22πEI2πEIFcr2()22ll11-9图a所示细长压杆，弯曲刚度EI为常数，试证明压杆的临界载荷满足下述方程：sinkl(sin

7、kl2klcoskl)0式中，k2=F/(EI)。题11-9图解：在临界载荷作用下，压杆可在图b所示微弯状态保持平衡。设横截面C的挠度为，则由平衡方程求得支座A与B的支反力为FFAyFByl杆段AB与BC的弯矩方程分别为FM(x1)x1Fw1lM(x2)F(w2)相应的挠曲轴近似微分方程分别为"FEIw1Fw1x1l"EIwFwF22上述微分方程的通解分别为w1A1sinkx1B1coskx1x1(a)lw2A2sinkx2B2coskx2(b)式中，除参数k外，积分常数A1，A2，B

8、1，B2与端点挠度也均为未知。压杆的位移边界条件与连续条件为：在x10处,w10(1)在x20处,w2(2)在x1l处,w10(3)7在x1x2l处,w1w2(4)在x1x2l处,