矩形的性质与判定

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1、矩形——1.2.1矩形的性质观察在小学，我们初步认识了长方形，观察图2-41中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？图2-41这些四边形的四个角都是直角.在一个平行四边形中，只要有一个角是直角，那么其他三个角都是直角.我发现这些长方形的对边平行且相等，因此，它们是平行四边形.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形.平行四边形矩形有一个角是直角结论矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分.可以知道：结论矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.由于矩形是平行四边形，因此如图2-42，四边形ABCD为矩形，那么对角线AC与DB相等吗？

2、动脑筋图2-42图2-42如图，四边形ABCD是矩形，于是有AB=DC，∠CBA=∠BCD=90°，BC=CB.因此△CBA≌△BCD.(SAS)从而AC=BD.即矩形的对角线相等.图2-42结论矩形的对角线相等.由此得到矩形的性质：如图2-43，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AC=4cm，∠AOB=60°.求BC的长.举例例1图2-43解∵□ABCD是矩形，从而∴△AOB是等边三角形.∴AB=OA=2cm.又∠AOB=60°，∵∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，图2-43解∵□ABCD是矩形，从而在纸上画一个矩形ABCD(如图2-44)，把

3、它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？图2-44做一做如图，矩形ABCD的对角线相交于点O.BCDAOFE过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC，AD相交于点E，F.由于，因此△OBC是等腰三角形，从而直线EF是线段BC的垂直平分线.由于AD∥BC，因此EF⊥AD.同理，直线EF是线段AD的垂直平分线.因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称图形，

4、直线EF是矩形ABCD的一条对称轴.BCDAOFE类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.BCDAOFEMN结论矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.由此得到：已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的一个夹角为60°，求矩形的各边长.练习1.答：矩形的各边长分别为1cm和2.如图，四边形ABCD为矩形，试利用矩形的性质说明：直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于斜边的一半.证明∵四边形ABCD是矩形，从而OA=OC，OB=OD.(矩形

5、的对角线相等.)（矩形的对角线互相平分.）又AC=BD，∴OB=OA=OC中考试题例如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=4cm，则AC的长为cm.8解析由矩形性质及∠AOB=60°，可得∠ACB=30°.在Rt△ABC中，∵AB=4，∴AC=2AB=8cm.矩形——1.2.2矩形的判定动脑筋矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？如图2-46，四边形ABCD的四个角都是直角.由于“同旁内角互补，两直线平行”，因此AB∥DC，AD∥BC，从而四边形ABCD是平行四边形.所以□

6、ABCD是矩形.由此得到四个角是直角的四边形是矩形.图2-46结论三个角是直角的四边形是矩形.三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也是直角，由此得到：四边形中只有两个角是直角，我想到了下边的图形：动脑筋从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？这样的矩形有多少个？过点O画两条线段AC，BD，使得OA=OC=2cm，OB=OD=2cm.连接AB，BC，CD，DA.则四边形ABCD是矩形，且它的对角线长度为4cm，如图2-47.这样的矩形有无穷多个.2cm2cm图2-47你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？如

7、图2-47，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？我们来进行证明.在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，因此△ABC≌△DCB.(SSS)从而∠ABC=∠DCB.又∠ABC+∠DCB=180°，于是∠ABC=90°.所以□ABCD是矩形.图2-47结论对角线相等的平行四边形是矩形.由此得到矩形的判定定理：对角线相等的四边形是矩形吗？议一议议一议议一议议一议议一议议一议如图2-48，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O.（1）如果□ABCD

8、是矩形，试问：△OBC是