矩形的性质与判定

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时间:2019-07-07

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1、矩形——1.2.1矩形的性质观察在小学,我们初步认识了长方形,观察图2-41中的长方形,它是什么平行四边形吗?它有什么特点呢?图2-41这些四边形的四个角都是直角.在一个平行四边形中,只要有一个角是直角,那么其他三个角都是直角.我发现这些长方形的对边平行且相等,因此,它们是平行四边形.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也称为长方形.平行四边形矩形有一个角是直角结论矩形的四个角都是直角,对边相等,对角线互相平分.可以知道:结论矩形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心.由于矩形是平行四边形,因此如图2-42,四边形ABCD为矩形,那么对角线AC与DB相等吗?

2、动脑筋图2-42图2-42如图,四边形ABCD是矩形,于是有AB=DC,∠CBA=∠BCD=90°,BC=CB.因此△CBA≌△BCD.(SAS)从而AC=BD.即矩形的对角线相等.图2-42结论矩形的对角线相等.由此得到矩形的性质:如图2-43,矩形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,AC=4cm,∠AOB=60°.求BC的长.举例例1图2-43解∵□ABCD是矩形,从而∴△AOB是等边三角形.∴AB=OA=2cm.又∠AOB=60°,∵∠ABC=90°,∴在Rt△ABC中,图2-43解∵□ABCD是矩形,从而在纸上画一个矩形ABCD(如图2-44),把

3、它剪下来,怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合?满足这个要求的折叠方法有几种?由此猜测:矩形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?你的猜测正确吗?图2-44做一做如图,矩形ABCD的对角线相交于点O.BCDAOFE过点O作直线EF⊥BC,且分别与边BC,AD相交于点E,F.由于,因此△OBC是等腰三角形,从而直线EF是线段BC的垂直平分线.由于AD∥BC,因此EF⊥AD.同理,直线EF是线段AD的垂直平分线.因此点B和点C关于直线EF对称,点A和点D关于直线EF对称,从而在关于直线EF的轴反射下,矩形ABCD的像与它自身重合,因此矩形ABCD是轴对称图形,

4、直线EF是矩形ABCD的一条对称轴.BCDAOFE类似地,过点O作直线MN⊥AB,且分别与边AB,DC相交于点M,N,则点M,N分别是边AB,DC的中点,直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.BCDAOFEMN结论矩形是轴对称图形,过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.由此得到:已知矩形的一条对角线的长度为2cm,两条对角线的一个夹角为60°,求矩形的各边长.练习1.答:矩形的各边长分别为1cm和2.如图,四边形ABCD为矩形,试利用矩形的性质说明:直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于斜边的一半.证明∵四边形ABCD是矩形,从而OA=OC,OB=OD.(矩形

5、的对角线相等.)(矩形的对角线互相平分.)又AC=BD,∴OB=OA=OC中考试题例如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若∠AOB=60°,AB=4cm,则AC的长为cm.8解析由矩形性质及∠AOB=60°,可得∠ACB=30°.在Rt△ABC中,∵AB=4,∴AC=2AB=8cm.矩形——1.2.2矩形的判定动脑筋矩形的四个角是直角,那么,四个角是直角的四边形是矩形吗?三个角是直角呢?两个角是直角呢?如图2-46,四边形ABCD的四个角都是直角.由于“同旁内角互补,两直线平行”,因此AB∥DC,AD∥BC,从而四边形ABCD是平行四边形.所以□

6、ABCD是矩形.由此得到四个角是直角的四边形是矩形.图2-46结论三个角是直角的四边形是矩形.三个角是直角的四边形,容易知道另一个角也是直角,由此得到:四边形中只有两个角是直角,我想到了下边的图形:动脑筋从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受到启发,你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗?这样的矩形有多少个?过点O画两条线段AC,BD,使得OA=OC=2cm,OB=OD=2cm.连接AB,BC,CD,DA.则四边形ABCD是矩形,且它的对角线长度为4cm,如图2-47.这样的矩形有无穷多个.2cm2cm图2-47你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗?如

7、图2-47,由画法可知,四边形ABCD的两条对角线互相平分,因此它是平行四边形,又已知其对角线相等,上述问题抽象出来就是:对角线相等的平行四边形是矩形吗?我们来进行证明.在□ABCD中,由于AB=DC,AC=DB,BC=CB,因此△ABC≌△DCB.(SSS)从而∠ABC=∠DCB.又∠ABC+∠DCB=180°,于是∠ABC=90°.所以□ABCD是矩形.图2-47结论对角线相等的平行四边形是矩形.由此得到矩形的判定定理:对角线相等的四边形是矩形吗?议一议议一议议一议议一议议一议议一议如图2-48,在□ABCD中,它的两条对角线相交于点O.(1)如果□ABCD

8、是矩形,试问:△OBC是

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