用MATLAB实现共轭梯度法求解实例(1)

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1、用MATLAB实现共轭梯度法求解实例康福201103710031一．无约束优化方法1.1无约束优化方法的必要性一般机械优化设计问题，都是在一定的限制条件下追求某一指标为最小，它们都属于约束优化问题。但是为什么要研究无约束优化问题?（1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题。（2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。（3）约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。（4）对于多维无约束问题来说，古典极值理论中令一阶导数为零，但要求二阶可微，且要判断海赛矩阵为

2、正定才能求得极小点，这种方法有理论意义，但无实用价值。和一维问题一样，若多元函数F(X)不可微，亦无法求解。但古典极值理论是无约束优化方法发展的基础。1.2共轭梯度法目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。（1）间接法——要使用导数，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。（2）直接法——不使用导数信息，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。用直接法寻找极小点时，不必求函数的导数，只要计算目标函数值。这类方法较适用于解决变量个数较少的（n≤20）问题，一般情况下比间接法效率低。间接法除要计算目标函数值外，还要计算目标函数的梯度，

3、有的还要计算其海赛矩阵。xxk1kskk(0,1,2,)k搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。共轭梯度法是沿着共轭方向进行搜索，属于共轭方向法中的一种，该方法中每一个共轭向量都是依赖于迭代点处的负梯度而构造出来。共轭梯度法作为一种实用的迭代法，它主要有下面的优点：（1）算法中，系数矩阵Ａ的作用仅仅是用来由已知向量P产生向量W=AP，这不仅可充分利用Ａ的稀疏性，而且对某些提供矩阵Ａ较为困难而由已知向量P产生向量W=AP又十分方便的应用问题是很有益的。（2）不需要预先估计任何参数就可以计算，这一点不像SOR等；（3）每次迭代所需的计算，主要是向量之间的运

4、算，便于并行化。共轭梯度法原理的知识较多，请详见《机械优化设计》第四章的第四、五节。图1为共轭梯度法的程度框图图1为共轭梯度法的程度框图二．设计题目及要求2.1设计题目用共轭梯度法求二次函数22fxx(,)x2x4x2xx1212112的极小点及极小值。2.2设计要求（1）使用matlab编写程序，熟练撑握matlab编程方法。（2）学习并撑握共轭梯度法的原理、方法及应用，并了解不同无约束优化方法的区别、优缺点及特殊要求。（3）编写程序，计算出二次函数的极小点及极小值，并适当选取不同的初始点及迭代精度精度，分析比较结果。三．计算步骤3.1计算求解T解：已知初始点

5、[1,1]迭代精度0.0011）第一次沿负梯度方向搜寻计算初始点处的梯度：2xx244012f()x42xx21x0214141000xx00d12120为一维搜索最佳步长，应满足1002ff()xmin(xd)min(40203)得：210.25110xf()x0.522）第二次迭代21f()x50.2502()020fx2110df()x0d1.522222

6、11xxd0.51.50.51.5代入目标函数22fx()(22)2(0.51.5)2(22)(0.51.5)4(22)()由()0得1从而有：40x2,ff(x2)8,(x2)20因2f(x)0收敛。3.2运行与程序运行：打开matlab,确定conjugate_grad_2d.m文件夹为当前目录。在命令窗中输入：f=conjugate_grad_2d([1,1],0.001)选择不同的初始点坐标[0,0],[0,1],[1,0],和迭代精

7、度0.01，0.0001,进行运行时，需要多次调用conjugate_grad_2d函数。程序及说明：functionf=conjugate_grad_2d(x0,t)%用共轭梯度法求已知函数f(x1,x2)=x1^2+2*x2^2-4*x1-2*x1*x2的极值点%已知初始点坐标：x0%已知收敛精度：t%求得已知函数的极值：fx=x0;symsxiyia;%定义自变量，步长为符号变量f=xi^2+2*yi^2-4*xi-2*xi*yi;%创建符号表达式ffx=diff(f,xi);%求表达式f对xi的一阶求导fy=diff(f,yi);