随机数的含义与应用概率的应用

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1、知识分析1、如何理解几何概型？假设保留古典概型的等可能性条件，而试验结果又有无限个，且可用一个有度量（长度、面积、体积、角度等）的几何区域表示，则这类事件的概率的计算就要用到几何概型。所谓几何概型，具备以下三个特点：（1）对一个试验，每次试验的各种结果是机会均等的；（2）每次试验的结果是无限多个、不可数的；（3）对基本事件空间和事件A可以用一个有度量的几何区域来表示。因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是一样的，同属于“比例解法”。即 也就是说，几何概型是用数形结合的方法来研究和解决问题的。为了更好的

2、理解几何度量，我们用下面两个例题对比学习：【例1】在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，求使△PBC的面积大于的概率。解：记事件A={△PBC的面积大于}，基本事件空间是线段AB的长度，（如图），即，由三角形的相似性，即所以，事件A的几何度量为线段AP的长度，因为AP=，所以P（A）=。 【例2】在面积为S的△ABC内部任取一点P，求使△PBC的面积大于的概率。解：该题的基本事件空间是△ABC的面积S，记事件A＝{△PBC的面积大于}，（如图）根据面积公式得点P的活动区域应在△ADE内，其中DE//BC,且

3、过高的分点，所以。<小结>由这两个例子可以看出，解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积。下面两个题也是题意相似，但采用的几何度量不同，同学们可以尝试处理一下，进一步理解上面的内容：（1）如图，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率。（2）如图，在等腰Rt△ABC中，在底边AB上取一点M，求AM＜AC的概率。参考答案：（1）   （2） 2、几何概型的常见题题型一：长度型【例题】取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断

4、，那么剪得的两段的长都不少于1米的概率有多大？解：如图1，记剪得两段绳子的长都不小于1米为事件A，把绳子三等份，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，由于中间一段的长度等于绳长的，所以事件A发生的概率为P(A)=。评述：将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域随机的取一点，该区域每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来解。 题型二：角度型【例题】如图2，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，求射线O

5、A落在∠xOT内的概率。解：设事件A为“射线OA落在∠xOT内”。事件A的几何度量是60°，区域Ω的几何度量是360°，所以，由几何概率公式得 题型三：面积型【例题】如图3，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小中大三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm，某人站在3m处向此板投镖。设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：（l）投中大圆内的概率是多少？（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？（3）投中大圆之外的概率是多少？分析：投中正方形木板上每一点（投中线上或没投中不算）都是一

6、个基本事件，这一点可以是正方形木板上任一点，因而基本事件有无限多个且每个基本事件发生的可能性都相等，所以，投中某一部分的概率只与这部分的几何度量（面积）有关，这符合几何概型的条件。解：设事件A：“投中大圆内”，事件B：“投中小圆与中圆形成的圆环”，事件C：“投中大圆之外”，则，由几何概型的公式得： 题型四：体积型【例题】在1L高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10ml，含有麦锈病的种子的概率是多少？分析：病种子在这1L种子中的分布可以看做是随机的，取得的10ml种子可看做构成事件的区域，1L种子

7、可看做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。解：取出10ml种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则P(A)= 3、如何理解随机数及其应用？随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样。因此，随机数就可以帮助我们安排和模拟一些试验，从而可以代替我们自己做大量重复的试验。一般的科学计算器和计算机都可以产生随机数，同学们可以在理解了教材上有关随机数的应用的例题后，尝试用计算器或计算机产生随机数，并试着运用模拟方法（包括计算器和计算机都可以产生随机数来进行模拟）估计概

8、率，进一步体会几何概型的意义。用计算器或计算机模拟随机试验，特别是对于一些成本高、时间长的试验，可以起到降低成本、缩短时间的作用。 4、解决概率应用题时，应注意哪些问题？（1）准确理解题意，抓住关键词语，将实际问题转化为数学问题；（2）在处理复杂问题时，要注意事件的互斥性，合理运用概率的加法公式；（3）用古典概型求随机事件的概率时，首先对于在试验中出现的结果的等可能性作出判断；其次通过