《极限运算》PPT课件

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1、第一章　函数　极限　连续第三节　极限运算一、无穷小量及其运算二、极限的运算法则三、两个重要极限一、无穷小量及其运算若函数a=a(x)在x的某种趋向下以零为极限，则称函数a=a(x)为x的这种趋向下的无穷小量，简称为无穷小.例如，函数a(x)=x-x0，当x→x0时，a(x)→0，所以a(x)=x-x0是当x→x0时的无穷小量.它是当x→∞时的无穷小量.是当x→+∞时的无穷小量.定理1若函数y=f(x)在x→x0(或x→∞)时的极限为A，则f(x)=Aa(x)(简记y=Aa)，定理2有限个无穷小(当x→x

2、0或x→∞时)的代数和仍然是无穷小量.反之若则A为f(x)的极限，定理3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.证设函数f(x)有界.

3、f(x)

4、≤M.又a(x)是无穷小量，即

5、a(x)

6、

7、a(x)f(x)

8、=

9、a(x)

10、

11、f(x)

12、

13、则定理5若函数y=f(x)与y=g(x)在x→x0(或x→∞)时都存在极限，则它们的和、差、积、商(当分母的极限不为零时)在x→x0(或x→∞)时也存在极限，且(1)由定理1有f(x)=Aa(x)和g(x)=B+b(x)，其中a(x)和b(x)均为无穷小量.于是f(x)g(x)=(AB)[a(x)b(x)]，其中AB为常数,a(x)b(x)仍为无穷小量，故由无穷小量的定理(1)可推得lim[f(x)g(x)]=AB=limf(x)limg(x).证(2)因为f(x)g(x)=[Aa(x

14、)][Bb(x)]=AB[Ab(x)Ba(x)a(x)b(x)].而由定理3的推论1和推论2可知Ab(x),Ba(x)，a(x)b(x)均为无穷小量，所以由定理1可知商的极限运算法则的证明从略.lim[f(x)g(x)]=AB=limf(x)limg(x).推论1常数可以提到极限号前，limcf(x)=climf(x).推论2若limf(x)=A，且m为正整数，lim[f(x)]m=[limf(x)]m=Am.特殊地，有则即解运用定理5及其推论可得:例2一般地，有因此即多项式函数在x0处的极限等

15、于该函数在x0处的函数值.解由例1知道当x1时所给函数的分子和分母的极限都存在，且分母极限例3所以解由于例4即因此，由无穷小量与无穷大量的关系可知，当x1时为无穷大量，解例5有时，所给函数在自变量的某个趋向下分子、分母的极限都为零，这时不能直接应用商的极限运算法则.例6若an0，bm0，m、n为正整数，试证有一类函数，当自变量趋于无穷大时，其分子、分母都趋于无穷大.这类极限称为　　　型的极限，对于它们也不能直接应用商的运算法则.证当x→时，所给函数的分子分母都趋向于无穷大.若将原式变形为解由于括

16、号内两项的极限都是无穷大，因此人们常称为“-”型极限，不能直接应用定理5.一般的处理方法是先通分再运用前面介绍过的求极限的方法.例7三、两个重要极限1.第一个重要极限g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)=limh(x)=A，limf(x)=A.定理6若对于xN(,)或

17、x

18、>M(M>0)时，有则OxRABC证AOB面积<扇形AOB面积<AOC面积,即例因为所以再次运用定理6即可得≤≤这个结果可以作为公式使用解例10计算解令5x=u，当x→0时u→0，因此有例12也可以按如下格式进行：解

19、例11这个结果可以作为公式使用例13解定理7设函数u(x)，v(x)在x0的某个邻域内(或

20、x

21、>M，M>0时)，满足u(x)≤v(x)或u(x)

22、x

23、>M,M>0时)，f(x)≤0(或≥0)，limf(x)≤0(或≥0).则则2.第二个重要极限定理8单调有界数列必有极限.证因为由例由此可知，un+1的前n项不小于un的相应项，而且un+1比un的展开式所以un+1>un.因此

24、{un}是单调递增数列.此外，由un的展开式可得所以{un}是有界数列.综上所述，{un}是单调有界数列，因此极限存在.≤≤≤我们还可以证明，都有极限，且人们记这个极限为数e，于是有数e是一个无理数，它的近似值可由展开式中取前若干项计算，以e为底的指数函数y=ex的反函数y=logex，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为y=lnx.它的前八位数是e=2.7182818解因为所以，有例14例15解