移动曲面拟合法DEM内插

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1、移动曲面拟合法DEM内插DEM内插就是根据参考点上的高程求出其它待定点上的高程，在数学上属于插值问题。由于所采用的原始数据排列一般不是规则的，为了获取规则格网的DEM，内插是必不可少的重要步骤。任意一种内插方法都是基于原始函数的连续光滑性，或者说邻近的数据点之间存在很大的相关性，这才有可能有邻近的数据点内插出待定点的数据。对于一般的地面，连续光滑条件是满足的，但大范围的地形是很复杂的，因此整个地形不可能像通常的数字插值那样用一个多项式来拟合。因为用低次多项式拟合，其精度必然很差；而高次多项式又可能产生解的不

2、稳定性。因此在DEM内插中一般不采用整体函数内插（即用一个整体函数拟合整个区域），而采用局部函数内插。此时是把整个区域分成若干分块，对各分块使用不同的函数进行拟合，并且要考虑相邻分块函数间的连续性。对于不光滑甚至连续（存在断列线）的地表，即使是在一个计算单元中，也要进一步分块处理，并且不能使用光滑甚至连续条件。此外还有一种逐点内插法被广泛地使用，它是以每一待定点为中心，定义一个局部函数去拟合周围的数据点。逐点内插法十分灵活，一般情况下精度较高，计算方法简单又不需要很大的计算机内存，但计算速度可能比其它方法慢

3、，其过程如下：(1)对DEM每一格网点，从数据点中心检索出对应该DEM格网点的几个分块格网中的数据点，并将坐标原点移至DEM格网点P（Xp，Yp）：（7-4-6）（2）为了选取邻近的数据点，以待定点P为圆心，以R为半径作圆,如图7-4-4。凡落在圆内的数据点即被选用。所选择的点数据根据采用的局部拟合函数来确定，在二次曲面内插时，要求选用的数据点个数n>6。当数据点Pi(Xi,Yi)到待定点P（Xp，Yp）的距离（7-4-7）图7-4-4选取P为圆心R为半径的圆内数据点参加内插计算时该点即被选用。若选择的点数

4、不够时，则应增大R的数值，直至数据点个数n满足要求。（3）列出误差方程式。若选择二次曲面作为拟合曲面。Z=Ax2+Bxy+Cy2+Ey+F(7-4-8)则数据点P对应的误差方程式为(7-4-9)有n个数据点列出的误差方程式为v=MX-Z(7-4-10)其中（4）计算每一个数据点的权。这里的权pi并不代表数据点Pi观测精度，而是反映了该点与待定点相关的程度。因此，对于权pi确定的原则应与该数据点与待定点的距离di有关，di愈小，它对待定点影响愈大，则权应愈大；反之当di愈大，权应愈小。常采用的权有如下几种形式

5、：(7-4-11)(7-4-12)图7-4-5三种权函数图象(7-4-13)其中R是选点半径；di为待定点到数据点的距离；K是一个供选择的常数；e是自然对数的底。这三种权的形式都可以符合上述选择的原则，但是它们与距离的关系有所不同，如图7-4-5所示。具体选用何种权的形式，需根据地形进行试验选取。(7-4-14)（5）法化求解。根据平差理论，二次曲面系数的解为由于所以系数F就是待定点的内插高程。利用二次曲面移动拟合法内插DEM时，对点的选择除了满足n>6外，还应保证各个象限都有数据点，而且当地形起伏较大时，

6、半径R 不能取得很大。当数据点较稀或分布不均匀时，利用二次曲面移动拟合可能产生很大的误差，这是因为解的稳定性取决于法方程的状态，而法方程的状态与点位分布有关，此时可考虑采用平面移动拟合或其它方法。Hannover大学的TASH程序使用的是二次曲面移动拟合内插法，而Vienna工业大学的SORA程序则采用了多个邻近点之加权平均水平面移动拟合法内插：（7-4-15）其中n为邻近数据点数；pi为第i个数据点的权；Zi为第i个数据点的高程。