Commutation_Relations_of_Operators_for_Quantum_Dynamics

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1、第十七讲力学量的完全集合及海森堡不确定关系一、力学量的本征函数集合及本征值集合SetsofEigenfunctionsandtheirEigenvalues1.1DInfiniteSquareWellPotential2.1DsimpleharmonicOscillatorByTianxinYangPage18of187/17/20211.Z-directioncomponentoftheangularmomentum2.Thesquareoftheangularmomentum3.ThemomentumByTianxinYangPage18of187/

2、17/20211.3DSimpleHarmonicOscillatorByTianxinYangPage18of187/17/20211.3DHydrogenAtom二、算符的对易关系CommutationRelationsofOperatorsforQuantumDynamicsByTianxinYangPage18of187/17/2021基本对易子：Commutator:基本非对易子：Anticommutator:其它力学量（比如角动量）的对易关系可以由对易子运算法则得到。对易子运算法则：ComputationRulesforCommutators

3、:ByTianxinYangPage18of187/17/2021在量子力学中，角动量算符（轨道角动量，自旋角动量和总角动量）是由下列对易关系定义的。CommutationRelationsofAngular-MomentumOperators:ByTianxinYangPage18of187/17/2021在量子力学中，角动量算符的叠加规则：（轨道角动量，自旋角动量和总角动量）ByTianxinYangPage18of187/17/2021根据角动量的对易关系和对易子的运算规则可以得到：角动量平方与角动量的三个分量分别对易！ByTianxinYangP

4、age18of187/17/2021三、对易算符的性质Commutators:areimportant!Becausedynamicvariableswho'soperatorscommutecanbemeasuredsimultaneouslyforthesystem.同时测量算符对易的力学量时，可以同时得到相应的力学量取值。IfthecommutatoroftwooperatorscorrespondingtotheobservablesAandBiszerothenthetwooperatorshavethesamecompletesetofeig

5、enfunctions.Asaconsequence,thewavefunctioncanbeexpectedtobeaneigenfunctionofbothoperators.ThisinturnmeansthatwecansimultaneouslyassigndefinitevaluestothetwoobservablesAandB.如果两个力学量A和B的对易子等于零，则说明两个算符有共同的完备的本征函数组，在他们共同的本征函数描述的状态下，测量这两个力学量，可以同时得到对应的本征值。定理：如果两个算符和有一组共同的本征函数，而且组成完备系，则

6、算符和对易。ByTianxinYangPage18of187/17/2021逆定理：如果两个算符和对易，则算符和有共同的组成完备系的本征函数。在一些算符的共同的本征态中，这些算符所表示的力学量同时有确定值。例1：在下测量轨道角动量平方和轨道角动量分量，可以分别得到确定值，它们是和。例2：在下测量动量的三个分量，可以分别得到确定值，它们分别是。ByTianxinYangPage18of187/17/2021四、力学量的完全集合要完全确定体系所处的状态（消除简并），需要有一组相互对易的力学量（即通过它们的本征值来完全确定体系所处的状态）。这一组完全确定体系状

7、态的力学量成为力学量的完全集合。在完全集合中，力学量的数目一般与体系的自由度的数目相等。例1：在氢原子体系中，如果只用能量算符是无法完全确定粒子状态的，存在能态简并和不确定性，但是，由于能量算符，轨道角动量平方和轨道角动量分量是两两对易的，即，，，故氢原子的能量本征态需要用这三个力学量对应的本征值、和（或本征值对应的量子数）完全确定。所以必须用三个量子数来完全确定波函数例2：在三维空间中自由粒子的状态必须用三个两两对易的算符来完全描述。例3：如果只用能量算符是无法完全确定在三维空间中各向同性谐振子的状态，存在能态简并和不确定性，但是是由三个两两对易的，因

8、为，，。当用三个算符来描述时，粒子状态才完全确定。ByTianxinYangPa