细说“否命题”与“命题的否定”

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1、细说“否命题”与“命题的否定”江苏省姜堰中学张圣官（225500)在学习《常用逻辑用语》的过程中，不少同学常常把“否命题”与“命题的否定”混为一谈。其实这两个概念是在不同的层面上研究问题时所出现的。“否命题”出现在“命题及其关系”中，指的是当原有命题（即原命题）为“若P则q”形式时，同时否定它的条件和结论得到“若¬p则¬q（读作若非p则非q）”，这称为原命题的否命题；而“命题的否定”是指将命题p（通常是较简单的命题）直接进行否定得到¬p，也即是直接得到命题的反面。1.要写出否命题，首先要将原命题改写成“若P则q”形式例1.已知命题“全等三角形一定相似”，试写出

2、它的否命题，并判断这两个命题的真假。解:将原命题改写为：若两个三角形全等，则它们一定相似。其否命题即为：若两个三角形不全等，则它们一定不相似。原命题为真，否命题为假。点评：将原命题首先改写成“若P则q”形式，是正确写出否命题的关键。当然还要注意这里的“一定”是语气助词而不是谓语动词，不能把否命题写成：若两个三角形不全等，则它们不一定相似。这样写就错了！违背了常用逻辑的基本规则。事实上，在处理命题中含有“一定”、“必然”等词语的问题时有一个办法是切实可行的，这就是将它们去掉，因为它们仅仅是加强语气而已。还有一点需要强调的是，原命题为真（假）时，否命题的真假性并不

3、确定，即否命题可能为真也可能为假，这要根据具体的问题结论来确定。在四种命题关系中，原命题与逆否命题真假性相同，逆命题与否命题真假性相同。例2.写出命题“若，则方程有两个不相等的实数根。”的否命题。分析：本题中对“P”的理解很关键，“”必须当做前提条件才行，而不能对它进行否定。否命题应该写成“若，则方程没有两个不相等的实数根。”如果命题中含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”时，那么在写“¬p”和“¬q”时要注意利用等价命题的原理和规律。例3.写出命题“若，则方程”的否命题，并判断两个命题的真假。分析：原命题是真命题，逆命题是真命题，因此写出的否命题必须也为真命题

4、才行。否命题应该为“若，则方程”，假如写成“若，则方程”的话就错了。2.要写出命题的否定，关键先要找到原有命题中省略的量词命题的否定是对命题p进行直接否定，通常针对的命题p是较为简单的命题。例如要对命题进行否定，当然¬p就是“3不大于2”，也即是“”。再如，请写出命题“实数的绝对值是正数”的否定，答案是“实数的绝对值不是正数”还是“不是实数的绝对值不是正数”呢？第二个逻辑上发生了混乱，这可不是对命题进行否定，是不对的；第一个从逻辑关系上来讲是对的，但写法不太规范。究竟该怎样才好呢？较为科学的做法是先找到原有命题中省略的量词“任意”或“存在”。具体到这道题而言，

5、命题“实数的绝对值是正数”是指“任意实数的绝对值是正数”还是指“存在实数的绝对值是正数”？显然指的是前者，这是一个全称命题，即“任意实数的绝对值都是正数”，那么它的否定应该是一个存在性命题，¬p：“存在一个实数，它的绝对值不是正数”。写命题P的否定形式，不能一概在关键词前加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体。如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可。如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题(所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意

6、”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题,全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题。因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：关键词等于(=)大于(>)小于(<)是能都是没有至多有一个至少有一个至少有n个至多有n个任意的任两个P且QP或Q否定词不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不能不都是至少有一个至少有两个一个都没有至多有n-1个至少有n+1个某个某两个¬P或¬Q¬P且¬Q命题p与

7、它的否定¬p的真假性一定相反，即命题p为真，¬p一定为假；命题p为假，¬p一定为真。利用其中的逻辑关系，有时可以简化解题过程。例4.已知命题“”是假命题，求实数的取值范围。分析：本题若直接求解则较为繁难，由于该命题是存在性命题，因此依据上述全称命题与存在性命题的关系，将该命题的否定形式写出，依据“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可推知其否定形式必为真命题，从而求出满足题设要求实数的取值范围。解：因命题的否定形式为：恒成立，由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知命题是真命题.事实上，当时，对任意的，不等式恒成立；当时，借助二次函数的图象，数形结合，很容

8、易知道：不等式恒成立的等价条件是且其判