《控制系统数字仿真》PPT课件

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1、返回总目录第4章控制系统数字仿真数字仿真是在数字机上建立系统模型并利用模型做实验，所以，进行数字仿真首先要建立描述被仿真系统的数学模型，并将此模型转换成计算机可接受的、与原模型等价的仿真模型，然后编制程序，使模型在计算机上运行。本章主要讲述数字仿真的基本理论与方法。连续系统数值积分方法连续系统的数学模型，一般都能以微分方程的形式给出，所以，连续系统数学仿真算法问题通常可归结为如何用计算机来求解微分方程的问题。数值积分法是解决该问题的重要方法之一，例如已知(4.1)求连续系统数值积分方法解：对式(4.1)两边积分，则当时令则(4.2)数值积分法是解决在已知初值的情况下

2、，对进行近似积分，对进行数值求解的方法，在数学上称为微分方程初值问题的数值方法。连续系统数值积分方法一.欧拉法表示函数在和相邻两次采样时刻之间的积分。若将此定积分中的近似看成常数，即则由式(4.2)得即(4.3)连续系统数值积分方法式中，为计算步距。，1，2，…式为(4.3)著名的欧拉积分公式。欧拉公式计算简单，但精度较低，其原因是将看成常数，从而用矩形面积代替准确的曲面面积，形成了较大的误差面积。为了提高计算精度产生了梯形法。连续系统数值积分方法二.梯形法梯形法是用梯形的面积近似代替定积分，即式中，；，所以即(4.4)连续系统数值积分方法从式(4.4)可以看出，用

3、梯形法进行数值积分，会出现一个问题：在计算时，先要用去计算式(4.4)右端的，而此时还未求出，显然，这是不可能实现的。所以，一般采用欧拉公式先预报一个然后将预报的代入式(4.4)进行校正，求出，即(4.5)式中，一般称式(4.5)为预报–校正公式。显然，梯形法比欧拉法精度要高，同时，每前进一个步距，计算工作量也比欧拉法约多一倍。连续系统数值积分方法三.龙格-库塔法对于微分方程式(4.1)，若在其初值附近展开成泰勒级数，并只取前三项，则有(4.6)设式(4.1)的解可以写成如下形式(4.7)连续系统数值积分方法将用二元函数泰勒级数展开式展开，并只取前三项，则将、代入式

4、(4.7)(4.8)比较式(4.6)与式(4.8)，得连续系统数值积分方法三个方程中有四个未知数，因而解不是唯一的。所以，限定，则求出。代入式(4.7)得写成一般形式(4.9)连续系统数值积分方法若在的假设下，时的准确解为，为用式(4.9)求得的近似解，则它们之差，称为此时计算的截断误差。式(4.6)只取到泰勒级数展开式中的二阶导数项，略去了三阶以上高阶导数项。为纪念提出该方法的德国数学家C.Runge和M.W.Kutta，称这种计算方法为二阶龙格-库塔法。其截断误差正比于步长的三次方，同理若在式(4.6)的计算中，取到的三阶或四阶导数项，则有相应的三阶或四阶龙格-

5、库塔法，相应的截断误差也应正比于或。连续系统数值积分方法一般在计算精度要求较高的情况下，多使用四阶龙格-库塔法。其计算公式为(4.10)连续系统数值积分方法将欧拉公式与的泰勒级数展开式比较可知，欧拉公式即泰勒级数展开式只取前两项。而将预报–校正公式与二阶龙格–库塔公式比较，发现它们完全是一样的。这样，通过对龙格库–塔法的介绍，可将前面讲的几种数值积分方法统一起来，都可看成是在初值附近展开成泰勒级数所产生的，只是其泰勒级数所取项数的多少不同。欧拉法只取前两项，梯形法与二阶龙格–库塔法取了前三项，四阶龙格–库塔法取了前五项。从理论上说，取的项数越多，计算精度越高，但相应

6、的计算公式更复杂，计算工作量也更大。连续系统数值积分方法以上介绍的几种数值积分公式，有一个共同的特点，在计算时只用到，而不直接用，，…各项的值，即在本次计算中，仅仅用到前一次的计算结果，而不需要利用更前面各步的结果。这类计算方法称为单步法。单步法运算有下列优点：(1)需要存储的数据量少，占用的存储空间少。(2)只需要知道初值，就可启动递推公式进行运算，具有这种能力的计算方法称为自启动的计算方法。(3)容易实现变步长运算。与单步法相对应的还有一类数值积分方法，在它的数值积分公式中，本次计算不仅利用前一次的计算结果，还必须利用更前面各次结果，此类方法称为多步法。如四阶阿

7、达姆斯(Adams)积分公式连续系统数值积分方法即是多步法计算公式。多步法与单步法相比，欲达到相同精度，计算工作量较小，从式(4.11)和四阶龙格–库塔式(4.10)的比较中可明显看出。在计算时，式(4.11)只需计算，而，，已由前三次计算求出，而四阶龙格–库塔公式每前进一步都要计算，，，，相当于四次计算右端函数，因此在相同的条件下多步法比单步法要快。(4.11)连续系统数值积分方法四.微分方程数值积分的矩阵分析方法前面介绍的数值积分公式，都是以求解单个典型微分方程进行介绍的。而工程实际系统中大量的仿真对象是以一阶微分方程组或矩阵微分方程的形式给出，如或连续系统