正弦激励下一阶电路的响应

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1、第17讲正弦激励下一阶电路的响应回顾:一阶电路方程的一般形式:其特征方程为:特征根齐次解为:特解:与激励f(t)有相同形式当激励为直流电源时,即f(t)为常数,则特解也为常数AS,于是GiL(t)LISuL(t)当激励为正弦函数时,一阶电路的响应如何?uS正弦激励下一阶RC电路的响应设则齐次解:特解:完全解:由特征方程求出特征根:根据完全解和初始条件得:又因特解应满足电路方程,故将特解及其导数代入电路方程得:展开并整理得:上式对任意时刻t均成立,故有:求得全响应uS固有响应（暂态响应）强迫响应（正弦稳态响应）例1如图所示一阶电路，已知R=1Ω，L=2H，电感

2、电流的初始值iL(0+)=3A，激励的正弦电压uS(t)=UmcosωtV，其中Um=10V，ω=2rad/s，求电感电流iL的全响应。解:根据KVL,有其全解iL(t)由齐次解iLh(t)和特解iLp(t)组成,即设则对任意t均成立代入数值后解得:强迫响应(稳态响应)固有响应(暂态响应)由上可见，当电路较复杂时，求解电路的正弦稳态响应非常繁复，因而需要一种分析和计算正弦稳态响应的简便方法——相量法（第四章）。第三章动态电路小结动态元件动态电路动态电路方程动态电路方程的解电容电感串联和并联一阶电路二阶电路一阶常微分方程二阶常微分方程齐次解和特解固有响应强迫响应

3、暂态响应稳态响应初始值（换路定律）零输入响应零状态响应三要素公式阶跃响应杜阿密尔积分正弦稳态响应RLC串联电路的零输入响应RLC串联电路的阶跃响应动态元件：元件的电压、电流关系中涉及对电流、电压的微分或积分的元件，如电容、电感。Cuq=dtduCi=u与i关联xdiCututò+=0)(1)0()()(212tCuWC=电容元件的特点：(1)记忆性元件;(2)储能无源元件;(3)电压不能突变.ψL＝Liò+=t0u()dL)0(ii1xu与i关联)(212tLi=WL电感元件的特点：(1)记忆性元件;(2)储能无源元件;(3)电流不能突变.C1C2Cni+

4、u1/C=1/C1+1/C2+…+1/CnuuCC11kk=L1i+–uL2LnnLLLL+++=21uLLukk=+-uiL1L2LnnLLLL111121++=iiLL11kk=一阶电路：只有一个动态元件的电路，其电路方程为一阶微分方程，故称为一阶电路。n阶电路：含有n个独立的动态元件的电路，其电路方程为n阶微分方程，称为n阶电路。R0i(t)Cuoc(t)uR0(t)uc(t))()(0tutudtduCRoccc=+G0i(t)Lisc(t)uL(t))(0tiidtdiLGscLL=+GiLCisuLiCiG1————RC+uLC1=+iSdtd

5、2u1————Cdtdudtd线性常系数微分方程的解由两部分组成：y(t)=yh(t)+yp(t))()()(00tfbtyadttdy=+齐次解为yh(t)=Kest=Ke-a0t(K为待定常数，由初始条件确定)特解与激励有相似的形式。sCR-tsUeUUtuc+-=)()(0（t≥0）特征方程为：s+a0=0特征根s=a0激励f(t)为常数时:特解也为常数.固有响应(暂态响应)强迫响应(稳态响应)4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减快慢

6、取决于时间常数RC电路=RC,RL电路=L/R=GL工程上规定：认为一般换路到3~5（衰减到初始值的4.98%~0.7%）时，过渡过程结束。3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。5.时间常数的简便计算：NReqL=L/ReqReqC=ReqCNiK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=0iLK(t=0)US+–uRL+–uLRL+RiL=US)1(eRUitLRSL--=(t0)iL(0-)=0使用条件：外施激励为直流或正弦函数。依据：①在全响应下，一阶电路中各处的u、i均按指数规律变化。初始值～最终值（稳态值）。②同一个电路，

7、u、i的变化由同一个τ决定。三要素：①f(0+):初始值，独立和非独立初始条件求解。t=0-,C开路，Ｌ短路。零状态时，Ｃ短路，Ｌ开路。②f(∞):特解，稳态值，最终值。Ｃ开路，Ｌ短路③τ：iC+–uCRuC(0-)=0电路对于单位阶跃函数输入的零状态响应，用g(t)表示。阶跃响应线性电路的线性性质如果则时不变电路的延时不变性如果则杜阿密尔积分(叠加积分):适用于f(t)为解析表示式时计算电路的零状态响应。