哈师大毕业论文 逻辑

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1、哈尔滨师范大学学　年　论　文题目谓词演算在数学理论中的应用学生指导教师庞健教授年级2007级专业数学与应用数学系别数学系学院数学与计算机科学学院哈尔滨师范大学2010年05月论文纲要在基础数学课程改革的背景下，高中阶段开设数理逻辑课程哪些方面展开更有利于老师的教和学生的学，是一个非常重要的问题。本文通过对谓词演算的了解来解决在数学理论中存在的一些逻辑问题，谓词演算对于描述更复杂的数学结构是不充分的。从文法上说谓词演算在现存的命题演算上增加了“谓词-主词结构”和量词。谓词演算在函数、集合、离散数学等方面的

2、诸多应用和诸多理论。谓词演算在数学理论中的应用吕姗姗摘要：在基础数学课程改革的背景下，高中阶段开设数理逻辑课程哪些方面展开更有利于老师的教和学生的学，是一个非常重要的问题。本文通过对谓词演算的了解来解决在数学理论中存在的一些逻辑问题，谓词演算对于描述更复杂的数学结构是不充分的。从文法上说谓词演算在现存的命题演算上增加了“谓词-主词结构”和量词。谓词演算在函数、集合、离散数学等方面的诸多应用和诸多理论。关键词：谓词演算数学理论数理逻辑数理逻辑最基本的形式系统。又称一阶逻辑。一个可以回答真假的命题，不仅可以

3、分析到简单命题，还可以分析到其中的个体、量词和谓词。个体表示某一个物体或元素，量词表示数量，谓词表示个体的一种属性。例如用P(x)表示x是一棵树，则P(y)表示y是一棵树，用Q(x)表示x有叶，则Q(y)表示y也有叶。这里P、Q是一元谓词，x，y是个体，公式"x(P(x)→Q(x))表示每一棵树都有叶子，这里"是全称量词表示“每一个”。公式$x(P(x)∧Q(x))表示有一棵没有叶的树，这里$是存在量词，表示“存在一个”。　　在数学中的关系，函数都可以看成谓词。例如x

4、看成三元谓词，因此谓词演算的公式可表示数学中的一些命题。例如若用Q(x)表示x是有理数，则公式(*)"x”y(Q(x)∧Q(y)∧x≤y→$z(Q(z)∧x＜z＜y))表示任意两个不相等的有理数中间一定存在另一个有理数。这就是有理数的稠密性。谓词可以在一定的个体集合中给出解释，谓词连接可以在这样的个体集合中取到真假值。例如在实数集R中解释Q(x)为x是有理数，则谓词公式(*)取值为真。如果在R中解释Q(x)为“x是整数”，谓词公式(*)就取值为假了。谓词公式在个体集合中取值的严格定义称为基本语义定义，这

5、个定义是波兰籍数学家A.塔尔斯基在20世纪30年代给出的。给定了谓词解释的个体集合称为模型。基本语义定义使谓词公式和模型都可以被当作数学对象加以研究。一个谓词公式在任意一个模型中都取真值，就称之谓恒真式。两个谓词公式A，B在任意模型的任何一种解释下都取相同的值，就称A，B逻辑等价。命题演算中的恒真式和等价式所反映的规律在谓词演算中仍成立。谓词演算中还有一些有关量词的等价式，如："xP(x)Û$鰔黀(x)，"x(j→ψ)Ûj→"xψ（x不在j中自由出现），"x(j→ψ)?xj→ψ（

6、x不在ψ中自由出现）。利用这些有关量词的等价式作等价变换，可以把任何一个谓词公式的量词移到公式的最前面，得到与之等价的前束标准形公式。形如Qx1，Qx2，…，QxnB的公式称为前束型公式，其中Qxi表示$xi或"xi，B是一个不含量词的公式。谓词演算中命题函数与量词有谓词H表示“能够到达山顶”,客体p表示李四,q表示老虎,r表示汽车。那么H(p),H(q),H(r)表示三个不同的命题，相同点：H(x)由一个谓词,一些客体变元组成的表达式称为简单命题函数。由一个或者n个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成的

7、表达式称为复合命题函数。客体变元的取值范围称为个体域(或论述域)。个体域可以是有限客体的集合,如：{a、b、c}、{计算机系的学生}；也可以是无限客体的集合,如实数几何、自然数集合等。特别是,当没有特别声明时,可以将宇宙间的一切事物和概念构成的集合作为个体域,称为全总个体域。例如：∀xF(x)表示个体域中的所有客体都有性质F；∃xF(x)表示存在着个体域中的客体具有性质F。当个体域有限时,设个体域为{a1,a2,…,an},则∀xF(x)⇔F(a1)∧F(a2)∧…∧F(an)∃xF(x)⇔F(a1)∨

8、F(a2)∨…∨F(an)符号化:谓词F(x)表示是要死的。当个体域为人类集合时,上述两命题可分别符号化为①∀xF(x)②∃xF(x)。(所有的人都是要死的。有些人是要死的。)引入新的谓词M(x),将人类分离出来。在全总个体域下,以上两命题可分别叙述为：∀x(M(x)→F(x))∃x(M(x)∧F(x))在谓词逻辑中将下列命题符号化。(1)没有不死的人。(2)不存在最小数。(3)教育技术系的学生都学离散数学。解题目中没有指定个体域,取个体域