多变量控制系统分析与设计1

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1、第4章系统的稳定性分析4.1稳定性的基本概念多变量系统可以分别从它的内部结构和外部特性考察其动态行为，从而建立起它的内部描述(如状态空间描述)或外部描述(传递函数矩阵描述)。系统的稳定性相应从内部和外部两个方面来考察。(1)内部稳定性系统的内部稳定性反映系统内部状态变化内在性质，与输入输出无关。它是在外部输入为零(又称为零输入)情况下，当状态向量偏离了某个平衡点时，系统能否自己回复到这个平衡点上来的性质。[定义4-1]满足f(x*)=0的状态x*称为系统的平衡状态，又称为平衡点。系统的平衡状态(平衡点)非线性系统线性系统(4-1)(4-3)(4-2)[定义4-2]对于系统，设

2、为它的某个平衡状态，如果对于任意一个ε>0，总存在一个δ>0，使得当系统在t0时刻初始状态满足：系统稳定系统的状态轨线x(t)恒有：则称系统在平衡点x*处稳定，或简称平衡点x=x*稳定。二维空间李雅普诺夫下稳定性的几何解释示意图-初始状态-平衡状态系统稳定性示意系统渐近稳定[定义4-3]若系统在平衡点x=x*处稳定，且：则称系统在平衡点处渐近稳定，或简称平衡点x=x*渐近稳定。-初始状态-平衡状态二维空间渐近稳定性的几何解释示意图系统大范围渐近稳定[定义4-4]如果对于任意初始状态x0，系统(4-2)在平衡点x*处都渐近稳定，则称系统在平衡点x*处大范围渐近稳定，或简称平衡点

3、x*大范围渐近稳定。线性系统的稳定性[定理4-1]如果线性系统(4-3)在平衡点x*=0处渐近稳定，则它在此平衡点处也大范围渐近稳定，并且x*=0是此系统唯一的平衡点。[定理4-2]当且仅当A的所有特征值{λi}(i=1~n)均具有非正(负或零)实部，且具有零实部的特征值是A的最小多项式的单根时，系统(4-3)在它的每一个平衡点处稳定。证明：系统的平衡状态为根据李亚普诺夫定义，系统渐进稳定时：线性系统的稳定性(续)[定理4-3]系统(4-3)在平衡点X*=0处(大范围)渐近稳定的充分必要条件是，A的所有特征值均具有负实部。考虑作矩阵线性变换：变换矩阵为状态空间模型之系数矩阵特

4、征向量构成：为对角线矩阵或者为若当标准型矩阵形式。λ1，λ2，…,λn为A的特征值。为A的m重特征值λ1，λ2，…,λl对应的约当块。的各分量是的线性组合为对角矩阵时自动控制原理，李友善(第三版)P332为约当阵时，自动控制原理，李友善(第三版)P340上式为线性组合A的特征值具有负的实部时，连续线性定常系统，渐近稳定的充分必要条件是：它的系数矩阵A的特征值全部都具有负实部。系数矩阵A的特征值存在实部为零的单重特征值，临界稳定关于系统稳定性的结论系统稳定的充分必要条件是：系统的特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于S平面的虚轴之左。(2)系统的外部稳定性系统稳定性的基本概

5、念(二)BIBO稳定性(有界输入-有界输出)[定义4-5]如果对于任一有界的输入向量u(t)：(4-5)系统(4-5)的输出向量y(t)也有界，即满足：则称系统(4-5)BIBO稳定。[定理4-4]当且仅当G(s)的所有极点均位于左半开平面上时，系统BIBO稳定。系统的外部稳定性系统稳定性考察解由于存在右半平面上的特征值s2＝1，故此系统不稳定，或者更严格地说，此系统的零输入响应在平衡点X*＝0处不稳定。系统的传递函数为：系统BIBO稳定。系统稳定性考察(续)系统(4-9)的Rosenbrock系统矩阵为：系统有一个输入解耦零点s＝1，系统内部不稳定。由于它不反映到G(s)中

6、，系统输入输出关系是稳定的。只有当P(s)为最小阶系统时，其所有极点才能完全反映到G(s)中。因此，当且仅当G(s)来自最小阶系统时BIBO稳定性才具有实际的意义。系统的外部稳定性[定理4-5]当G(s)来自最小阶系统时，下述命题等价：(1)系统的零状态响应BIBO稳定；(2)系统的零输入响应渐近稳定；(3)G(s)的所有极点均具有负实部；(4)状态方程中矩阵A的所有特征值均具有负实部。系统稳定性的基本概念(三)(3)系统闭环稳定性当且仅当矩阵Ac＝(A-BK)的所有特征值均具有负实部时，闭环系统稳定。如果采用定常输出反馈当且仅当AC所有特征值均具有负实部时，闭环系统稳定系统

7、闭环稳定性(续)系统闭环稳定性(续)︱TH(s)︱=0的根就是闭环系统的极点。系统闭环稳定性(续)[定理4-6]当且仅当多项式所有零点均处于左半开平面上时，闭环系统稳定。系统闭环稳定性(续)系统稳定性的基本概念(四)(4)Routh-Hurwitz判据为使Δ(s)的n个根均具有负实部，其必要条件是Δ(s)的各次项系数ai全为正。若有零或负系数，则Δ(s)必有虚轴上或右半平面上的根。(4-46)Routh-Hurwitz判据[定理4-7]Δ(s)的n个根均具有负实部的充分必要条件是式(4-46)中的n个数