高级加密标准(AES)的数学基础

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1、AES算法的数学基础主讲人：赵永哲e_mail:yongzhe@jlu.edu.cn电话：13180888761字节运算：有限域GF(28)上的运算1.有限域GF(23)2.有限域GF(28)3.有限域GF(28)的加法运算4.有限域GF(28)的乘法运算有限域GF(23)GF(23)表示域中有23个元素，除0之外的7个元素由本原多项式构造。假定其本原多项式为：m(x)=x3+x+1有限域GF(23)的多项式表示GF(23):{000,001,010,011,100,101,110,111}有限域GF(2

2、3)的本原多项式的根表示α定义为本原多项式m(x)=x3+x+1的根，即α3+α+1=0和α3=α+1GF(23):{0,α0,α1,α2,α3,α4,α5,α6}有限域GF(28)有限域GF(28)表示特征为2的具有28元素的有限域。这里表示成系数在{0,1}中的多项式的集合：{b7x7+b6x6+b5x5+b4x4+b3x3+b2x2+b1x+b0}这样任意的8位二进制数就和有限域中的一个多项式建立了一一对应的关系。加法运算在多项式表示中，GF(28)上两个元素的和仍然是一个次数不超过7的多项式，其系

3、数等于两个元素对应系数的模2加（比特异或）。由于每个元素的加法逆元等于自己，所以减法和加法相同。乘法运算要计算GF(28)上的乘法，必须先确定一个GF(2)上的8次不可约多项式；GF(28)上两个元素的乘积就是这两个多项式的模乘（以这个8次不可约多项式为模）。在Rijndael密码中，这个8次不可约多项式确定为m(x)=x8+x4+x3+x+1它的十六进制表示为‘11B’。例题例题.计算GF(28)上的两个元素10010001和00100010的乘积。答案：10000100x乘法GF(28)上还定义了一个

4、运算，称之为x乘法，其定义为x·b(x)=b7x8+b6x7+b5x6+b4x5+b3x4+b2x3+b1x2+b0x(modm(x))如果b7=0，求模结果不变，否则为乘积结果减去m(x)，即求乘积结果与m(x)的异或。由此得出x（十六进制数‘02’）乘b(x)可以先对b(x)在字节内左移一位（最后一位补0），若b7=1，则再与‘1B’（其二进制为00011011）做逐比特异或来实现，该运算记为b=xtime(a)。AESLogtableAESalogtable字运算：系数在GF(28)上的多项式运算字

5、：4个字节构成的向量。4个字节构成的向量可以表示为系数在GF(28)上的次数小于4的多项式。字（多项式）的加法对应的多项式的系数相加字（多项式）的乘法规定多项式的乘法运算必须要取模M(x)=x4+1，这样使得次数小于4的多项式的乘积仍然是一个次数小于4的多项式.将多项式的模乘运算记为，设a(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0，b(x)=b3x3+b2x2+b1x+b0，c(x)=a(x)b(x)=c3x3+c2x2+c1x+c0。由于xjmod(x4+1)=xjmod4，所以c0=a0b0a3b1a2

6、b2a1b3；c1=a1b0a0b1a3b2a2b3；c2=a2b0a1b1a0b2a3b3；c3=a3b0a2b1a1b2a0b3。字（多项式）的乘法可将上述计算表示为例题例题.计算0xB7A5662F0x03010102modM(x)=X4+1得到0xC7？？A0？？，请将?？处填满。例题.计算0xC7DAA0E60x0B0D090EmodM(x)=X4+1得到0x？？A5？？2F，请将?？处填满。例题.计算0x030101020x0B0D090EmodM(x)=X4+1产生过程1997年4月15日，

7、美国ANSI发起征集AES（advancedencryptionstandard）的活动，并为此成立了AES工作小组。此次活动的目的是确定一个非保密的、可以公开技术细节的、全球免费使用的分组密码算法，以作为新的数据加密标准。1997年9月12日，美国联邦登记处公布了正式征集AES候选算法的通告。对AES的基本要求是：比三重DES快、至少与三重DES一样安全、数据分组长度为128比特、密钥长度为128/192/256比特。产生过程1998年8月12日，在首届AES候选会议（firstAEScandidate

8、conference）上公布了AES的15个候选算法，任由全世界各机构和个人攻击和评论。1999年3月，在第2届AES候选会议（secondAEScandidateconference）上经过对全球各密码机构和个人对候选算法分析结果的讨论，从15个候选算法中选出了5个。这5个是RC6、Rijndael、SERPENT、Twofish和MARS2000年10月2日，NIST宣布Rijndael作为新的AES。至此，经过3年多的讨