无源性和正实函数

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1、§6-4无源性和正实函数北京邮电大学电子工程学院俎云霄由R、L、C、M等无源元件组成的网络，其驱动点函数是有理正实函数，这是无源单口网络可以实现的充分必要条件，是无源网络综合的基础。如果F(s)又是有理函数，则称其为有理正实函数。如果函数F(s)满足:(1)当s为实数时，F(s)也为实数；(2)当时，则就称其为正实函数，简记为P.r.。无源网络驱动点函数的正实性质是有理正实函数。正实函数的性质1正实函数的倒数也是正实函数证明假定F(s)是正实函数，则它必满足条件(1)和(2)。因此(1)当s为实数时，因为F(s)为

2、实数，所以，其倒数也为实数，即满足条件(1)。(2)设，则有因为当时有，所以由上式可知，即满足条件（2），性质得证。2正实函数之和仍为正实函数正实函数的性质3正实函数的复合函数仍为正实函数设F(s)和f(s)都是正实函数，则其复合函数F[f(s)]也是正实函数。证明当s为实数时，f(s)为实数，所以，F[f(s)]也为实数，满足条件（1）。当时，，从而，满足条件（2）。所以，复合函数是正实函数。正实函数条件的等价条件(a)当s为实数时，也F(s)为实数；(b)，即在虚轴上F(s)的实部大于等于零；(c)F(s)在s的

3、右半平面内解析，即:（i）极点不能在s的右半开平面，（ii）若虚轴上有极点，则这些极点应为单阶且其留数为正实数。正实函数的检验条件(b):先将分子、分母多项式的奇部和偶部分开，如果、为负，则一定不符合条件(b)，因此，不需再进一步检验。而如果P(x)中的所有系数均为正，则P(x)必然非负，F(x)符合条件(b)。如果除、为正外，其他某些系数为负，则必须要求P(x)在除原点外的正x轴上不能有奇数个根才能保证对所有都有。偶数个根和复数根是允许的。条件（c）:先看s的右半平面是否有极点，这可以通过检查有理函数的分母多项式是

4、否是霍氏多项式来判断；其次看虚轴极点是否单阶且有正留数，这可将有理函数展开成部分分式后加以确定。正实函数的检验三个极点的留数都是正实数，所以条件(c)满足。因此F(s)是正实函数。正实函数的检验解例5－5条件(a)显然满足。检验是否是正实函数。由于，所以，从而，因此条件(b)也满足。F(s)的分母显然是霍氏多项式，其根为。