专题01 经典母题30题-数学(理)走出题海之黄金30题系列

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1、母题1【集合运算】（2016甲卷理2）已知集合，，则（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】因为，所以，所以.故选C.母题2【充分条件和必要条件】（2016四川理7）设：实数，满足；：实数，满足，则是的（）.A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A母题3【函数的性质】（2016甲卷理12）已知函数满足，若函数与图像的交点为，，⋯，，则().A.B.C.D.【答案】B【解析】由得，关于对称，而也关于对称，所以对于每一组对称点有，，所以.故选B.母题4【函数的图象】（2

2、016乙卷理7）函数在的图像大致为（）.A.B.C.D.【答案】D分析对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项.母题5【三角形函数的图象和性质】（2016全国乙理12）已知函数，为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】依题意，可得，，且，即.故，，即，.当时，.又，因此在上不单调.当时，，且.又，因此在上单调，则的最大值为9.故选B.母题6【平面向量数量积】（2016天津理7）已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，

3、使得，则的值为（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意作图，如图所示.则.故选B.母题7【内切球】（2016全国丙理10）在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】如图所示，假设在直三棱柱中，有一个球与平面，平面，平面相切，其俯视图如图所示.设其球的半径为，则且，得.因此，直三棱柱内球的半径最大值为，则.故选B.母题8【平面与平面平行的判定】(2016全国乙理11)平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则，所成角的正弦值为（）.A.B.C.D.【

4、答案】A母题9【直线和双曲线位置关系】2016天津理6）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（）.A.B.C.D.【答案】D【解析】根据对称性，不妨设在第一象限，，联立，得.所以，得.故双曲线的方程为.故选D.母题10【直线和抛物线位置关系】（2016四川理8）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为().A.B.C.D.母题11【程序框图】（2016全国丙理7）执行右图的程序框

5、图，如果输入的，那么输出的（）.A.B.C.D.【答案】B母题12【排列和组合】（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）.A.24B.18C.12D.9【答案】B【解析】从的最短路径有种走法，从的最短路径有种走法，由乘法原理知，共种走法.故选B．母题13【几何概型】（2016全国乙理4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车

6、站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）.A.B.C.D.【答案】B母题14【复数的运算及概念】（2016全国乙理2）设，其中，是实数，则（）.A.1B.C.D.2【答案】B【解析】由，得，所以.故选B.母题15【导数的几何意义】（2016甲卷理16）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则.【答案】【解析】的切点为，则它的切线为.的切点为，则它的切线为：，所以，解得，，所以.母题16【二项式定理】（2016全国乙理14）的展开式中，的系数是（用数字填写答案）.【解析】的展开式的通项公式为.令

7、，得.故的系数是.母题17【直线和圆】（2016全国丙理16）已知直线与圆交于，两点，过，分别做的垂线与轴交于，两点，若，则__________________.【解析】解法一：根据直线与圆相交弦长公式有，得，又，得.因此圆心到直线：的距离，解得因此直线的方程为.所以直线的倾斜角为.如图所示，过点作于点，则.母题18【线性规划】（2016全国乙卷理16）某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时；生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时.生产一件产品的利润为元

8、，生产一件产品的利润为元，该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过个工时的条件下，生产产品，产品的利润之和的最大值为元.【答案】母题19【平面向量坐标运算】（2016全国乙理13）设向量，，且，则.【答案】【解析】因为，故，即.所以，得.母题20【等比数列通项公式和性质】（2016全国乙理15）设等比数列满足，，则的最大值为.【答案】解法一：由，得，得，且.故当或时，取得最大值，即.解法二：.故当或时，取得最大值.母