高中数学选修5-3(密码学算法基础)数学与密码学

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1、数学与信息安全怎样设计密码?第1阶段－古典密码密码学还不是科学,而是艺术出现一些密码算法和加密设备密码算法的基本手段出现，针对的是字符简单的密码分析手段出现主要特点：数据的安全基于算法的保密数学与密码技术的三个发展阶段古典加密主要技术代替密码：明文中的每个字符被替换成密文中的另一个字符。置换密码：不改变明文字母，只改变了这些字母的出现顺序。古典密码用到的数学变换置换整数的模运算统计学（破解时）用得不多计算机使得基于复杂计算的密码成为可能相关技术的发展1949年Shannon（香农）的“TheCommunicationTheoryofSecretSystems”1971-73

2、年IBMWatson实验室的HorstFeistel等几篇技术报告主要特点：数据的安全基于密钥而不是算法的保密第2阶段近代密码阶段（1949~1975）Shannon：美国工程师1948年发表“AMathematicalTheoryofommunication”，标志信息论的诞生1949年发表“CommunicationTheoryofSecrecysystem”，以信息论为基础，用概率统计为数学手段对保密通信问题进行了分析。由香农提出的保密系统模型目前仍然是现代密码学的基本模型.Shannon通信系统模型信源：消息的来源编码器：把消息变换成信号信道：传递信号的媒介,在物理

3、线路上划分的逻辑通道。译码器：把信道输出的信号反变换信宿：信息的接受端噪声：信道中的干扰Shannon保密通信系统模型公开信道密钥信道香农信息论信源熵信道容量无失真信源编码定理率失真函数信源编码信道编码限失真信源编码定理信道编码定理密码概括:信息的测度信道容量信源和信道编码理论用到的数学概率论与数理统计1976年：Diffie&Hellman的“NewDirectionsinCryptography”提出了公钥密码学思想；1977年Rivest,Shamir&Adleman提出了RSA公钥算法；90年代逐步出现椭圆曲线等其他公钥算法；主要特点：公钥密码使得发送端和接收端无密

4、钥传输的保密通信成为可能第3阶段现代密码后期阶段（1976~）对称密码体制：加密密钥和解密密钥相同.密钥分发与管理困难。非对称密码体制(也称公钥密码体制):加密密钥（publickey）和解密密钥（privatekey)不相同，从一个密钥导出另一个密钥是计算上不可行的，加密能力和解密能力是分开的，开放性好。密钥分发与管理相对容易.密码体制分类加密与解密的密钥相同，即：P=D(K,E(K,P))对称密码体制模型加密与解密的密钥不同，则：P=D(KD,E(KE,P))非对称密码体制模型如何设计公钥密码最基本思想:利用数学难解问题.设计工具:数论、代数数论的游戏之美数论就是一门研

5、究整数性质的学科数论的很多问题最能体现数学之美数学皇冠1.完美数完美数有多少?完美数只发现20多个物以稀为贵。虽然未找到实际中的特别用途，但优美数的奇异和美丽吸引了许多人2素数整数p>1被称为素数(质数)，是指p的因子仅有1或它自己。2357111317192329313741434753596167717379838997回文素数[13，31]，[17，71]，[113，311]，[347，743]，……有多少对？孪生素数[17，19]，[29，31]，41，43]，[59，61]，[71，73]，…,[297×2546-1,297×2546+1],…,[11591429

6、85×22304-1,1159142985×22304+1],…,有多少对？素数在密码学中占有极其重要的地位。关于素数有如下些问题：如何判定？如何找到？素数的分布？Mersen数Euclid在探寻完美数的时候发现：完美数可能有公式成立：Mersen素数Mn都是素数加拿大20歲青年MichealCameron在2001年11月發現了第39個梅森質數213466917-1，它是個4053946位數MichealAMDTB800MHz電腦，在餘暇時間運作了42日。之后一直未發現有新的梅森質數，直到2006年：最大的Mersen素数232582657-1据国际著名数学网站《数学世界

7、》2006年9月11日报道，美国密苏里州立中央大学数学家库珀和化学家布恩领导的研究小组发现了已知的最大梅森素数，该素数有9808358位数，这一超级素数是目前已知的最大素数，也是2000多年来人类发现的第44个梅森素数。如果用普通字号将这个数字连续写下来，它的长度超过40公里！为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，设在美国的电子新领域基金会(EFF)不久前向全世界宣布:任何个人或机构通过GIMPS项目找到超过1000万位数的梅森素数，将会获得该基金会颁发的10万美元奖金。但是，绝大多数研究者参与该项目不是为了