2017清华领军与自招数学与逻辑

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1、实用标准文档2017年清华大学自主招生与领军计划数学试题（1）设函数，若对，则实数的取值范围是分析：如果是解答题，我们需要对求导，对分类讨论单调性，求上的最小值，进而求得答案。但是对于清华领军考试这样的要求快速作答的选择题，这么做很浪费时间，可以用数形结合快速得出答案。解：问题等价于在上恒成立记，，两函数均过，且由图像可得选A（2）设为两个随机事件，且，则解：（A），所以A错（B），所以B对（C），所以C错（D），所以D错文案大全实用标准文档选B（3）从中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如，这样的四位数共有解：十个数中先选出3个数，再从中选出一个作为用两次的，再选出两个位

2、置放这个数，剩下两个数再排列一下，共有个.下面考虑被排在了首位的情况：1°0在后三位还出现了一次：则在剩下9个数中再选两个，于是有个.2°只出现在首位：则在剩下9个数中再选两个，其中一个重复两次，于是有个.于是符合题目要求的四位数共有个选D（4）已知集合，，设映射满足：对任意的是奇函数，这样的映射的个数解：设则，，，均为奇数，所以只需令为奇数，所以共有种选择选C（5）若关于的方程只有一个实数解，则实数的值文案大全实用标准文档解：显然与均关于对称，若有之外的解，则均成对出现，所以要只有一个解，则只能在处，此时当时，时，，确实只有一个解.选A（11）方程的非负整数解的个数是答案：解析：令，先研究

3、的解的个数，然后对于的每一个可能的取值，分别研究的解的个数。考查的是类比转化的思想——既然二元一次不定方程会解，三元怎么办？自然将未知问题（三元）转化为已知问题（二元）去解决。具体来说：的非负整数解有组，其中，分别研究的非负整数解的个数：（写一写，看一看——归纳猜想！当然直接求解也可以，但容易算错）…………组数……所以，总组数（6）设为非零向量，且，则与夹角的最大值为（B）文案大全实用标准文档解析：因为，取，则平移向量的起点到点，则向量的终点在以为圆心，以为半径的圆上，如下图所示，则与夹角为，方法一：根据几何意义可知，当与圆相切时，夹角最大，此时，，则,则.方法二：在中，不妨假设，，则，当且

4、仅当时，取最小值，此时最大，为.方法三：假设，则，则，设与夹角为，则文案大全实用标准文档令，则，则所以（7）已知三棱锥的底面为边长为3的正三角形，且则的体积为（C）解析：如图，因为,过点向面作垂线，因为斜边长相等，则射影相等，可知到顶点距离相等，因此为的外心，因为为直角三角形，所以为的中点.平面，则,所以.（8）设函数，若对任意的实数则实数的取值范围是（A）解：方法一：排除法，当时，文案大全实用标准文档显然满足题意，可以排除选项BD；当时，显然，也满足题意，因此排除D选项，选A.方法二：即则，题目等价于对任意的实数恒成立，当时，不等式显然成立，当时，题目等价于对任意的实数恒成立，因为，而且0

5、能取到，所以的最大值为0，因此.（9）设正实数满足，则的最小值为D解：设，则文案大全实用标准文档由均值不等式可得，，又因为，所以，则，又因为，所以，故选D.（10）给定圆及圆内一点，设是圆的两个动点，满足，则的中点的轨迹为(A)一个圆一个椭圆一段双曲线一段抛物线解：如图，建立平面直角坐标系，不妨假设圆的方程为，则,所以,因为，所以，设，则化简得：，即，所以轨迹为一个圆.（11）方程的非负整数解的个数是答案：文案大全实用标准文档解析：令，先研究的解的个数，然后对于的每一个可能的取值，分别研究的解的个数。考查的是类比转化的思想——既然二元一次不定方程会解，三元怎么办？自然将未知问题（三元）转化为

6、已知问题（二元）去解决。具体来说：的非负整数解有组，其中，分别研究的非负整数解的个数：（写一写，看一看——归纳猜想！当然直接求解也可以，但容易算错）…………组数……所以，总组数（12）设整数满足且对任意整数，是24的倍数，满足条件的有序数组的个数为答案：解析：整体思路——尽量给出足够强的必要条件，进而枚举解决。具体来说：令，易得，所以可能的取值有种；下面分析即可；令，易得；令，易得；因此，设，其中，文案大全实用标准文档更进一步讨论，有：，即，因为奇数的平方模余，偶数的平方模余，所以只需，即可满足题意；当时，；当时，；当时，；当时，；因此总共有种情况（13）设是三角形的三个内角，则的最大值答案

7、：解析：方法一：尝试和差化积，发现搞不定，再尝试积化和差：取等条件显然能取到，从而选方法二：根据不等号的方向和整个式子的结构，想到采用均值不等式进行放缩，然后和差化积：文案大全实用标准文档取等条件显然能取到，从而选方法三：作为选择题，容易根据的不对称性判断，选项应该不是答案，而，所以直接猜。此方法适用于时间不够的情况。（14）设则答案：解析：；；所以（15）设是的排列，且满足，则这种排列的个数是答案：解析：首