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时间:2019-07-03
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1、实用标准文档2017年清华大学自主招生与领军计划数学试题(1)设函数,若对,则实数的取值范围是分析:如果是解答题,我们需要对求导,对分类讨论单调性,求上的最小值,进而求得答案。但是对于清华领军考试这样的要求快速作答的选择题,这么做很浪费时间,可以用数形结合快速得出答案。解:问题等价于在上恒成立记,,两函数均过,且由图像可得选A(2)设为两个随机事件,且,则解:(A),所以A错(B),所以B对(C),所以C错(D),所以D错文案大全实用标准文档选B(3)从中选出三个不同数字组成四位数(其中的一个数字用两次),如,这样的四位数共有解:十个数中先选出3个数,再从中选出一个作为用两次的,再选出两个位
2、置放这个数,剩下两个数再排列一下,共有个.下面考虑被排在了首位的情况:1°0在后三位还出现了一次:则在剩下9个数中再选两个,于是有个.2°只出现在首位:则在剩下9个数中再选两个,其中一个重复两次,于是有个.于是符合题目要求的四位数共有个选D(4)已知集合,,设映射满足:对任意的是奇函数,这样的映射的个数解:设则,,,均为奇数,所以只需令为奇数,所以共有种选择选C(5)若关于的方程只有一个实数解,则实数的值文案大全实用标准文档解:显然与均关于对称,若有之外的解,则均成对出现,所以要只有一个解,则只能在处,此时当时,时,,确实只有一个解.选A(11)方程的非负整数解的个数是答案:解析:令,先研究
3、的解的个数,然后对于的每一个可能的取值,分别研究的解的个数。考查的是类比转化的思想——既然二元一次不定方程会解,三元怎么办?自然将未知问题(三元)转化为已知问题(二元)去解决。具体来说:的非负整数解有组,其中,分别研究的非负整数解的个数:(写一写,看一看——归纳猜想!当然直接求解也可以,但容易算错)…………组数……所以,总组数(6)设为非零向量,且,则与夹角的最大值为(B)文案大全实用标准文档解析:因为,取,则平移向量的起点到点,则向量的终点在以为圆心,以为半径的圆上,如下图所示,则与夹角为,方法一:根据几何意义可知,当与圆相切时,夹角最大,此时,,则,则.方法二:在中,不妨假设,,则,当且
4、仅当时,取最小值,此时最大,为.方法三:假设,则,则,设与夹角为,则文案大全实用标准文档令,则,则所以(7)已知三棱锥的底面为边长为3的正三角形,且则的体积为(C)解析:如图,因为,过点向面作垂线,因为斜边长相等,则射影相等,可知到顶点距离相等,因此为的外心,因为为直角三角形,所以为的中点.平面,则,所以.(8)设函数,若对任意的实数则实数的取值范围是(A)解:方法一:排除法,当时,文案大全实用标准文档显然满足题意,可以排除选项BD;当时,显然,也满足题意,因此排除D选项,选A.方法二:即则,题目等价于对任意的实数恒成立,当时,不等式显然成立,当时,题目等价于对任意的实数恒成立,因为,而且0
5、能取到,所以的最大值为0,因此.(9)设正实数满足,则的最小值为D解:设,则文案大全实用标准文档由均值不等式可得,,又因为,所以,则,又因为,所以,故选D.(10)给定圆及圆内一点,设是圆的两个动点,满足,则的中点的轨迹为(A)一个圆一个椭圆一段双曲线一段抛物线解:如图,建立平面直角坐标系,不妨假设圆的方程为,则,所以,因为,所以,设,则化简得:,即,所以轨迹为一个圆.(11)方程的非负整数解的个数是答案:文案大全实用标准文档解析:令,先研究的解的个数,然后对于的每一个可能的取值,分别研究的解的个数。考查的是类比转化的思想——既然二元一次不定方程会解,三元怎么办?自然将未知问题(三元)转化为
6、已知问题(二元)去解决。具体来说:的非负整数解有组,其中,分别研究的非负整数解的个数:(写一写,看一看——归纳猜想!当然直接求解也可以,但容易算错)…………组数……所以,总组数(12)设整数满足且对任意整数,是24的倍数,满足条件的有序数组的个数为答案:解析:整体思路——尽量给出足够强的必要条件,进而枚举解决。具体来说:令,易得,所以可能的取值有种;下面分析即可;令,易得;令,易得;因此,设,其中,文案大全实用标准文档更进一步讨论,有:,即,因为奇数的平方模余,偶数的平方模余,所以只需,即可满足题意;当时,;当时,;当时,;当时,;因此总共有种情况(13)设是三角形的三个内角,则的最大值答案
7、:解析:方法一:尝试和差化积,发现搞不定,再尝试积化和差:取等条件显然能取到,从而选方法二:根据不等号的方向和整个式子的结构,想到采用均值不等式进行放缩,然后和差化积:文案大全实用标准文档取等条件显然能取到,从而选方法三:作为选择题,容易根据的不对称性判断,选项应该不是答案,而,所以直接猜。此方法适用于时间不够的情况。(14)设则答案:解析:;;所以(15)设是的排列,且满足,则这种排列的个数是答案:解析:首
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