图论课件--邻接谱与图的邻接代数

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1、图论及其应用应用数学学院1第一章图的基本概念本次课主要内容邻接谱与图的邻接代数(一)、邻接谱(二)、图的邻接代数(三)、图空间简介2(一)、邻接谱1、图的特征多项式定义1：图的邻接矩阵A(G)的特征多项式：称为图G的特征多项式。例1、设单图G的特征多项式为：求证:(1)a1=0;(2)–a2=m(G);(3)–a3是G中含有不同的K3子图的个数2倍。3证明：由矩阵理论：对每个1≦i≦n,(-1)iai是A(G)的所有i阶主子式之和。(1)由于A(G)的主对角元全为零，所以所有1阶主子式全为零，即：a1=0;这样

2、的一个2阶主子式对应G中的一条边，反之亦然，所以，有：(2)对于单图G,A(G)中非零的2阶主子式必为如下形式：4这样的一个3阶主子式对应G中的一个K3，反之亦然.设G中有S个K3,则：(3)对于单图G,A(G)中非零的3阶主子式必为如下形式：事实上，有如下一般性定理：(见李蔚萱，《图论》，湖南科学技术出版社，1980年4月)5定理1：图G的特征多项式的系数：其中，s(G,H)表示G的同构于H的导出子图的数目。右边对所有i阶图H求和。2、图的邻接谱定义2：图的邻接矩阵A(G)的特征多项式的特征值及其重数，称为G

3、的邻接谱。例2、求出Kn的谱。解：Kn的邻接矩阵为：6于是：7所以：例3，若两个非同构的图具有相同的谱，则称它们是同谱图。求证：下面两图是同谱图。GH8证明：G与H显然不同构。通过直接计算：所以G与H是同谱图。例4，设单图A(G)的谱为：则：证明：由矩阵理论：9aii(2)表示点vi的度数，由握手定理：即：例5，设λ是单图G=(n,m)的任意特征值，则：证明：不失一般性，设λ=λ1，λ2，…,λn是G的全体特征值。G是单图，有：10又由例4，有：对向量(1,1,…,1)与(λ2,λ3,λ4,…,λn)用柯西不等

4、式得：所以，有：由(1)与(2)得：11注：对于图谱的研究，开始于二十世纪60年代。形成了代数图论的主要研究方向之一。图谱研究在流体力学，量子化学里有重要的应用。国内，中国科技大学数学系是最早展开该课题研究的单位(1978年就有很好的研究成果)。他们对图论的研究主要有两个方面：一是图谱问题，二是组合网络研究，也有达到国际水平的研究成果(1994年开始).关于组合网络问题，将在第三章作一些介绍。12(二)、图的邻接代数1、图的邻接代数的定义定义3：设A是无环图G的邻接矩阵，称：对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法来说作

5、成数域C上的向量空间，称该空间为图G的邻接代数。注：向量空间的定义可简单地记为“非空”、“两闭”、“八条”2、图的邻接代数的维数特征13定理1：G为n阶连通图，则：证明：由哈密尔顿—凯莱定理(见北大数学力学系《高等代数》)：所以：下面证明：E,A,A2,…,Ad(G)线性无关！若不然，则存在不全为零的数a0,a1,…,ad(G),使：14设am-1≠0,但当k≥m时，有ak=0.于是有：假定：v1v2…vd(G)+1是G中一条最短的(v1,vd(G)+1)路，易知：d(G)

6、(m=1,2,…,d(G)+1)注意到：Ak的元素a1m(k)在k0所以，的一行m列元为am-1a1m(m-1)≠0，这样有：15产生矛盾！定理结果分析：不等式右端的界是紧的！因为：n点路的直径为n-1,所以，此时该路的邻接代数的维数正好为n。此外：当G为Kn时，有：例6，设G为n阶连通图，则G的不同特征值的个数S满足：16证明：S≦n是显然的！由矩阵理论知：对称矩阵的不同特征值的个数等于其最小多项式的次数，而最小多项式的次数等于G的邻接代数的维数，所以：注:(1)n点路的不

7、同特征值有n个；(2)Kn的不同特征值有2个。17定理2：集合：对于图的对称差运算和数乘运算：(三)、图空间简介来说作成数域F={0,1}上的m维向量空间。注：图空间概念是网络图论中的一个基本概念。研究通信网络，如果要用图论方法，建议参看陈树柏的《网络图论及其应用》，科学出版社，1982年。学习网络图论的主要基础是电工学与矩阵理论知识。18证明:(1)证明M是F上的向量空间，只需要验证“两闭”与“八条”即可。(2)M的维数为m令又令：可以证明：g1,g2,…,gm为M的一组基！事实上：对若E(Gi)={ei1,

8、ei2,…,eik},则：19另一方面：若则：c1=c2=…=cm=0所以：20作业设G是一个r度正则图，证明：r是G的的一个特征值；(2)特征值r的重数等于G的连通分支数；(3)G的任意特征值λ满足：21ThankYou!22