《前半部分改完》PPT课件

《《前半部分改完》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第七章非线性方程求根§1二分法（对分法）§2迭代法的算法和理论§3迭代加速收敛的方法§4Newton迭代法§5弦割法和抛物线法一.研究数值解法的必要性1一般方程的根无法用解析表达式给出；2三次、四次方程的求根公式较繁。需要给出求根的近似值的方法。二.方程的根方程f(x)=0的解称为方程f(x)=0的根或称为f(x)的零点。若f(x)＝g(x)，其中m为正整数，g(x)满足，显然为f(x)的零点。这时，称为f(x)的m重零点，或称为f(x)=0的m重根。定理若f(x)具有m阶连续导数,则是f(x)的m重零点之充要条件

2、为：证明必要性设是f(x)的m重零点，则由当时当k=m时充分性设使得由Taylor公式得其中0<θ<1，令则有且根据定义，为f(x)的m重零点三.根的搜索求方程根的近似值之前，一般需要首先确定隔（有）根区间[a,b]（在[a,b]上方程仅有一个根）。方法：通过函数f(x)的增减性、凹凸性、变号特征等，并结合做草图来确定隔（有）根区间[a,b]。§1二分法（对分法）基本思想：通过区间逐次分半，将有根区间逐步缩小。设f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且在[a,b]内f(x)=0至少有一个实根。记[a,b

3、]为[,]①计算[a1,b1]中点的函数值若＝0，则若，则令若，则令新的有根区间[,]的长度②再计算[,]中点的函数值若＝0，则若，则令若，则令新的有根区间[,]的长度如此对分下去，则得到一系列有根区间且由得k=1,2,3当对分过程无限继续下去，则有根区间必收缩为一点，即具体做法(1)给定ε每步检查是否成立，若成立，取，否则继续对分。(2)令，先确定对分次数k，再计算(3)误差估计为优点对函数性质要求不高（只要函数连续）；计算简单，且可达到任意精度。缺点计算量大；不能求复根与偶重根。§2迭代法的算法和理论一不动点迭

4、代法对给定的方程f(x)=0，将其变为等价的方程构造k=1,2称为迭代序列，(x)称为迭代函数。称为迭代格(公)式或迭代过程。当(x)连续时，若则有即故序列的极限为方程x=(x)(或f(x)=0)的根若满足，称为(x)的不动点。即映射关系将映射到本身。因求f(x))的零点等价求的不动点。也称k=1,2为不动点迭代法（简单迭代法或逐次逼近法）。迭代序列的收敛性及收敛速度依赖于迭代函数的选取。二不动点迭代法的一般理论定理（不动点定理）已知x=(x)，若且①对，有;②存在常数0

5、唯一的不动点；②对任意k=0,1,2产生的序列必定收敛到(x)的不动点；③有误差估证明①作辅助函数ψ(x)=(x)-x由于(x)在[a,b]上连续，则ψ(x)∈C[a,b]，且ψ(a)=(a)-a≥0ψ(b)=(b)-b≤0故由连续函数的介值定理，至少存在使ψ()=0。即从而(x)在[a,b]上存在不动点。又设(x)有两个不动点。注意且由微分中值定理得即故即(x)在[a,b]上有唯一的不动点。②注意且由微分中值定理其中介于与之间得k=1,2因0

6、的不等式，即得Remarks①该定理的结论（证明）与线性方程组求解的简单迭代法之收敛性定理有相似之处。②由可见：若当则故一般用作为迭代停止的标准③L越小，收敛越快；L≈1，则应该运用加速收敛的方法。④若取定及，由可事先粗略估计迭代次数。⑤上述定理称为全局收敛性定理，但不易验证，甚至并不成立，故多考察局部收敛性。三局部收敛性及收敛的阶1局部收敛性①定义若存在(x)的不动点的闭邻域使对迭代产生的迭代序列均收敛于，则称求的迭代法局部收敛。（在附近具有局部收敛性）②局部收敛性的判别定理设为(x)的不动点，在的某个邻域连续，

7、且，则迭代法局部收敛。证明因连续，所以存在使得对故即对有将前述定理中的[a,b]取为则对迭代法收敛。Remarks①实用的标准：若由迭代产生的序列均落在根的邻域中，且在该邻域中，则以该邻域内任何一点为初始值所产生的迭代序列不会收敛于。事实上故②在的邻域中，或不恒成立，则迭代的收敛性不能断定。③对收敛的迭代格式，收敛速度有快慢之分。2收敛速度收敛速度是收敛过程中迭代误差的下降速度。①p阶收敛的定义设收敛于x=(x)的根。令迭代误差如果存在p≥1及c>0，使得（C称为渐近误差常数）则称该迭代过程为p阶收敛。0

8、p=1称为线性收敛；p>1称为超线性收敛；p＝2称为平方收敛（二次收敛）。p越大，收敛越快。②收敛速度的判别定理设迭代格式中迭代函数的高阶导数（p>1）在不动点的邻域里连续，则迭代格式为p阶收敛的充要条件是且有证明充分性当p＝1，若则由得即迭代格式为线性收敛。对p>1，由，知迭代格式满足在邻域具有局部收敛的条件，故迭代式收敛。由介于之间得故即为p阶收敛。必要