《傅淑婷老师》PPT课件

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1、傅淑婷老師指導李重毅‧呂怡學‧彭柏諺製作如右圖，PQRS是一個正方形，在它的四邊上畫上四個直角三角形，假設這四個直角三角形的邊長除了邊a、b、c、d相等外，其餘皆不相等，求邊e、f、g、h、i、j、k、l的正整數解。研究動機（一）、找出這個題目的解法。並歸納出這個題目在a為不同數時的各種狀況。（二）、歸納出如何快速由一個正整數找出和他有畢氏數對關係的其他正整數方法。（三）、探討畢氏數對的系列規則。研究目的研究過程（一）這是毛西氏的公式其中，我們知道和必為這個畢氏數組的兩股，因此我們可以利用這個特性來解上面的題目。上圖所謂正方形的邊長a、b、c、d，即為四周的正三角形的一股，所以a＝b＝c

2、＝d＝or研究過程（二）於是，我們將a用1~100的數代入。開始了一連串恐怖的計算惡夢。無意間發現，在某些數組中出了問題…以15為例…N個小時後令a=15（I）無整數解（II）15=1×15（不合）=15×1=3×5（不合）=5×3m+n=15m-n=1m=8,n=7求出數對（15，112，113）m+n=5m-n=3m=4,n=1求出數對（8，15，17）總共兩組解、於是我們想到一個方法來將所有的解找出來。同樣以a＝15為例，我們將15因數分解，15＝3×5，15的所有因數有，1、3、5、15，我們已知道1沒有整數解，而3和5各有兩組解，分別為（3，4，5）和（12，13，

3、5），我們將（3，4，5）乘以5；將（12，13，5）乘以3，得到數組（15，20，25）和（36，39，15），所以我們研判當a＝15，可以找出四個不同的直角三角形。但是這個方法實在是太麻煩了，而且疑點實在是太多了，我們有以下疑問：研究過程（三）像這樣的題目，可以滿足畢氏定理的另一股及斜邊的正整數是否有限？當a為質數時，只有一組解嗎？疑問求證令，也就是說，當x是固定的時候，欲求y，代數只要代到x的平方就可以找出他的所有解；換言之他的解是有限的。目的：證明他的解是有限的令，x必是奇數，因此的因數只有1和x。所以，此時有兩種狀況：（I），則（無整數解）（II），則我們知道一個奇數必為兩個連續

4、整數的和，所以z和y是連續正整數，只有這一組解。證明質數只有一組解我們再利用Excel程式，將一股代入100以內的質數，再將另一股定為1到10000的整數（因為上面我們知道解是有限的，且另一股必小於的一半，而100之中最大的質數是97，他的平方的一半為4704.5，所以將另一股定為1到10000的整數是綽綽有餘的），最後求其斜邊，經代入多個質數後，發現都只有一組解，於是得證當a為質數時，只有一組解。Excel程式之運用現在，回歸到報告原本的主題，到底a的性質會不會影響到解的數量？它們之間到底有什麼關係？我們使用Excel程式快速運算，算出當a為1到100的整數時，各有多少組解：研究過程（四

5、）a解102031415161718292101111124131141154163171182191204214221231247252Excel表格觀察上頁的表格，我們發現一些規律：狀況無整數解一組解兩組解三組解四組解五組解七組解十組解數的特性小於等於2的正整數。質數。質因數只有兩個，且至少一個為2。大於2的質數的平方。質數的平方的兩倍。可分解成兩個具有因、倍數關係的合數。因數為兩個相異且大於二的質數可以分解成4和一個大於2的質數的乘積。可以分解成6和一個大於2的質數的乘積。例外：32、70、81只有64…………….…………….說明：1.1.無整數解：a為小於等於2的正整數，也就是1和

6、2，經計算證明。2.一組解：a為質數的狀況，請參考上面第(7)點證明。a的質因數只有兩個，且至少一個為2。證明：設，令x=2n（n為質數）（I）c、b為偶數，令c=2p，b=2q一組解（II）c、b為奇數，令c=2p+1，b=2q+1（無整數解）因此證明只有一組解。雖然我覺得這個和上面的沒有什麼關係，但我認為還是蠻有意義的。我們利用Excel程式，同樣利用毛西氏的公式，將n代1~15的整數、m代1~50的整數，算出一大推的畢氏數，然後探討畢氏數對的系列規則。我們發現：研究過程（五）【三數互質，且較大的一股與斜邊必為連續正整數】＊即使用毛西氏公式將n代1，m代任何奇數。例：（3、4、5）、

7、（5、12、13）、（7、24、25）、（9、40、41）……。系列一【三數互質，且較大的一股與斜邊必相差2，且皆為奇數】＊即使用毛西氏公式將n代1，m代任何偶數公式：，m=偶數例：（8、15、17）、（12、35、37）、（16、63、65）、（20、99、101）…….。系列二【當m=xn時（x為>1的奇數），所得到的畢氏數對中，經約分後，最小的一個數＝x】例：令m=3n，求出數對（6、8、10），約分後變成數對（3