弹性力学简明教程第二章

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1、§2-10应力函数—常体积力一.常体力情况下的简化当体力为常量时，（2-21）容简化为：——(2-21a)——(2-21b)—拉普拉斯算子（2—22）注意:在常体力情况下,(2-2)平、(2-22)容和(2-15)边中都不包含弹性常数，而且对于两种平面问题都是相同的。因此，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体满足：a.相同的边界形状，b.受同样分布的外力，则不管两个弹性体的材料是否相同，也不管是在平面应力还是平面应变情况下，应力分量的分布都是相同的。应用：a.用实验方法量测结构的应力分量时；b.平面应力情况下的薄板模型代替平面应变情况下的长柱形结构。c.在常体力情况下，对

2、于单连体的应力边界问题，还可以把体力的作用改换为面力的作用，以便解答问题和实验量测。设原问题中应力分量满足：(a)(b)(c)(d)比较(a),(b),(c),(d)，得到满足：体力为零的平衡微分方程和面力分量分别增加了和的应力边界条件。于是得到求解原问题的办法：先不计体力，而对弹性体施加代替体力的面力分量和，求出以后，再在和上叠加上和，即得原问题的应力分量。例如：如图所示深梁在重力作用下的应力分析(p为深梁的容重)。先不计体力，而施以代替体力的面力。CABDEFhhCABDEF2phphxyxyp二.应力函数为非齐次偏微分方程组结论：当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变

3、）问题，可归结为根据（2-2）平及（2-22）容求出应力分量{},并要求在边界上满足应力边界条件（2-15）边及位移单值条件。研究（2-2）平及（2-22）容的求解（2—22）1.对应的齐次偏微分方程的通解所以,必存在一个具有全微分的函数A(x，y)根据微分方程解的理论，(2—2）平的解由两部分组成：通解及其一个特解。由第一式有全微分充要条件由第二式有：（a）（b）(d)（c）同理：根据全微分充要条件，同样存在另一个函数B(x，y)比较（a）（d）两式对应的齐次偏微分方程的通解：Φ—平面应力函数（Airy应力函数）同理可以找到一个函数Φ(x，y)，有2.非齐次方程特解3.平

4、衡方程的解（2-23）将（2-23）代入（2-22）容（2-22）容可记为：或这里Φ（x，y）为双调和函数注：满足的Φ函数称调和函数展开后：（2—24）结论：1.当应力函数Φ为满足双调和方程的双调和函数时（2—23）可以同时满足（2-2）平及（2-22）容，故（2—23）为（2-2）平及（2-22）容的解。（2—24）为用应力函数表示的相容方程。2.当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）问题，可归结为根据（2-24）容求出应力函数Φ，然后由平衡方程的解（2—23）求出应力分量{，并要求在边界上满足应力边界条件（2-15）边，及位移单值条件（多连体时）。[多连体的位移单

5、值条件]单连体：具有一个连续的边界。多连体：具有两个以上互不相交的连续的边界。位移单值条件：一点处的位移是单值的。*按应力求解时，对于多连体，要利用位移单值条件，才能完全确立应力分量。[例题]解：1.满足平衡微分方程将x=y=-q,xy=0代入故满足平衡方程qxyqO条件，也满足位移单值条件，是问题的解。任意形状等厚度薄板全部边界上受均布压力q，试证明：满足平衡方程、相容方程和应力边界2.满足相容方程3.满足边界条件：将x=y=-q,xy=0代入，自然满足qqlqmxyxyyxxy将x=y=-q,xy=0，代入4.位移单值条件：2）求位移：满足1）求

6、应变：（1）（2）（3）代入（3）得于是有：由（1）式积分由（2）式积分由于所给应力解答满足平衡微分方程、相容方程、且在边界上满足应力边界条件，对于多连通域满足位移单值条件，故为问题的解。积分：上式为线性函数，为单值函数。1、平衡微分方程（2-2）公式2、相容方程3、应力边界条件（2-22）（2-15）