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1、装备强化小结写在前面笔者出道伊始，见识浅薄，着笔粗陋，或有错漏，忐企斧正。闲话不表，言归正传。引子但凡有装备（等级）系统的游戏，一般都会遇到装备强化（或称“升星”）的问题。对此的讨论历久不衰，加上自补的细枝末节，不外乎以下几个问题：问题一、已知：各级强化后可能到达的状态及对应概率。计算：从某低级开始，在固定次数内，强化到某高级的概率。问题二、已知：各级强化消耗、强化后可能到达的状态及对应概率。计算：从某低级到某高级所需进行的平均强化次数及消耗。问题三、已知：各级强化消耗、强化后可能到达的状态及对应概率。计算：从某低级开
2、始进行固定次数强化，所能到达的平均等级及平均消耗。对此，同仁群策群力，公式结论、程序模拟……各种实现方法层出不穷。即便如此，仍有不少人理不清此些问题的内容和关系。特妄开此文，一则权作总结，二则以正视听。理论准备：1、一般随机过程（1）、定义：依赖于一个变动参数??的一族随机变量{??(??),??∈??}。其中，变动参数??的所有可取值的集合??为参数空间。??(??)的值所构成的集合??成为随机过程的状态空间。例如，从时间??=??开始记录某电话总机的呼叫次数，设??=??时没有呼叫，至时刻??的呼叫次数记作????
3、，则随机变量族{????,??≥??}是随机过程。（2）、马氏过程：如果已知在时间??系统处于状态??的条件下，在时刻??(??>??)系统所处状态与时刻??以前系统所处的状态无关，此过程便为马尔可夫过程（随机过程的一个子类）。例如，在布朗运动中，已知时刻??下的运动状态条件下，微粒在??后的运动情况和微粒在??以前的情况无关。若??(??)表示微粒在时刻??的位置，则??(??)是马尔可夫过程。2、马尔科夫链（1）、定义：设{????=??,??,…}是一个随机变量序列，用“????=??”表示时刻??系统处于状态?
4、?这一事件，称??????(??)=??(????+??=??∣????=??)为事件“????=??”出现的条件下，事件“????+??=??”出现的概率，又称它为系统的一步转移概率。若对任意的非负整数????、????、????…????−??、??、??以及一切??≥??，有??(????+??=??∣????=??,????=????,??=??,??,…??−??)=??(????+??=??∣????=??)=??????(??)，则称{????}是一个马尔可夫链。一步转移概率有以下的性质：??????≥?
5、?,(??,??=??,??,…,??)????�??????=??,(??,??=??,??,…,??)??=??把各个状态之间的一步转移概率排成矩阵，成为状态矩阵：??????⋯????????=�⋮⋱⋮�??????⋯??????每个状态??对应状态矩阵??的第??行。3、??步转移概率与??步转移矩阵（1）、??步转移概率(??)系统从状态??恰好经过??步转移到状态??的概率。记作??????=??(????+??=??∣????=??)。（2）、??步转移矩阵(??)(??)??=�??�??????×??
6、显然，??(??)为概率矩阵，即有：(??)??≥??,(??,??=??,??,…,??)????????(??)�??=??,(??,??=??,??,…,??)??????=??（3）、切普曼∙科尔莫格洛夫方程(??)(??)(??−??)??=�????????????????????(??)=??(??)??(??−??)由以上方程可以推出：??(??)=??(??−??)??=????建模及符号规范：装备基础等级为??，最高等级为??。在等级??的时候进行一次强化操作，所能到达的等级??对应的概率为????
7、??，即一步转移概率矩阵为：??????⋯????????=�⋮⋱⋮�??????⋯??????在等级??进行一次强化操作的成本为????，那么成本向量就是：??=(????????????…????)另外，为表达方便，还需要以下几个工具矩阵：????=(??…??…??)，??×??，第??个元素为????⋮⎛⎞????=⎜??⎟，??×??，第??个元素为??⋮⎝??⎠??⋯??????=�⋮??⋮�，??×??，单位矩阵对角线上第??个元素为????⋯??【问题一】、已知：一步转移概率矩阵??。计算：从??级开始
8、，在??次内，强化到??级的概率。一、分析(??)前面已经知道，从等级??开始进行??次强化操作，恰好到达的等级??的概率为??????，但是在这个问题中应该注意的是，不论强化次数是否到达??，只要到达??级，就停止强化。这看似使问题复杂化，实际上，只需将??级转化成吸收态，就可轻易解决。因为，只要到达吸收态，以后是否再强化都不会
