复合材料力学36914453

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1、复合材料细观力学的均匀化理论1引言随着科学技术的发展，复合材料由于其众所周知的高效性和特殊性而逐渐在各个领域取得了广泛的应用。无论是军事、航空航天，还是建筑、汽车、电子、体育器械，几乎每个领域都能找到复合材料的身影。通常人们把复合材料所占比例的多少作为衡量一个学科先进与否的重要参数。使用复合材料的目的是为了利用它较高的性能比(如夹层板等)或者它在某一方面的特殊材料性质(如压电晶体、具有特殊热弹性性质的梯度材料等)。由于对复合材料的要求比较苛刻，这就需要人们具有对其定量分析和根据一定的要求来进行特定的优化和设计的能力。细观力学是一门通过研究材料在细观尺度上的结构、组成、分布等材料的构成来分析

2、材料的物理、力学等材料性质的方法。有限元法与细观力学及材料科学相结合产生了计算细观力学。作为计算细观力学的最主要的组成部分，计算细观力学的发展一直是近十年来细观计算力学发展的主要特征和推动力。它主要研究组分材料间力的相互作用和定量描述细观结构与材料性能之间的关系。计算细观力学在求解复合材料细观力学问题中的应用正是在七十年代随着细观力学的起飞而发展起来的。然而，该领域发展的高峰却是随着计算材料科学(或称为计算机辅助材料设计科学)的兴起才出现。可以说计算细观力学与计算材料科学二者一之间互为促进共同发展。均匀化理论的主要思想是，针对非均匀复合材料的周期性分布这一特点，选取适当的相对于宏观尺度很小

3、并能反映材料组成性质的单胞，建立模型，确定单胞的描述变量，写出能量表达式(势能或余能等)，利用能量极值原理计算变分，得出基本求解方程，再利用周期性条件和均匀性条件及一定的数学变换，便可以联立求解，最后通过类比可以得到宏观等效的弹性系数张量、热膨胀系数张量、热弹性常数张量等一系列等效的材料系数。近年来，计算机技术的飞速发展为大规模的科学计算.提供了可行性，均匀化方法的应用也随之广泛起来。基于均匀化方法的复合材料设计、材料性能预测与优化、结构分析及优化在航空、航天、交通、建筑、机械制造、运动器械等领域都方兴未艾。2均匀化方法的基本理论典型的均匀化问题所讨论的模型通常具有规则的周期性。其相应的物

4、理(包括几何性质、力学性质、热力性质等)具有如下性质：（2.1）其中是物理点的位置向量，N是一个的对角阵，（2.2）是任意的整数；是一个常数向量，表示结构的周期；F(.)是关于位置向量x函数，可以是标量，向量甚至张量。比如一个周期复合材料单胞Y，其力学性能可以表示为,其中的就是一个关于位置向量x的周期函数，且为张量。因此满足关系式：（2.3a）或者写成：（2.3b）这里的分别是应力和应变张量。具用式（2.1）性质的函数称为Y-周期函数。具有这样周期细观结构的材料通常在宏观尺度上其材料性质随x的变化比较平滑，而在某个位置x处很小的邻域内其材料性质通常会具有很高的振荡性质。这种材料的周期Y相对

5、整个结构的宏观尺度来说很微小。这样我们可以从两个尺度上考虑问题。一个是宏观尺度坐标x(也称全局坐标)，另一个是细观尺度坐标y(也称局部坐标)。坐标y可以在细观尺度上表征材料性质的突变。假设西观尺度坐标y和宏观尺度坐标x的单位长度比值为ε。可以知道ε是个非常小的数。有关系式：（2.4）从而对于整个x内的一般函数g有关系式，（2.5）为了显示均匀化方法的优点考虑材料性质函数Φ（x）再细观尺度上震荡非常强烈，如图（1.1）。把其中一个周期内的曲线放大到习惯尺度，得到图（1.2）。参数ε可以看作是细管尺度的相对比值。在材料的全局域上定义坐标系。根据材料的周期性可知整个材料域可以看做是一系列相同单胞

6、的集合.其中，和为基本单胞在局部坐标系上的边长。对于宏观尺度上一个固定x点，任何依赖于y的函数可以看做是Y-周期函数。此外假设单胞构成元素的性质对宏观尺度变量x的变化比较平滑。为了简便说明，只考虑二维线弹性问题，复合材料的宏观弹性功能可由下式本构关系描述。（2.6）这里上划线表示体积平均值。复合材料的泊松比可由宏观弹性张量表示如下：（2.7）复合材料的宏观弹性张量有均匀化方法确定。结构的位移可展开成如下的级数形式：（2.8）按照均匀化理论的思想，将（2.8）带入虚功方程，利用摄动技术得到若干决定这些位移函数的各阶摄动方程。这些摄动方程可知与细观尺度坐标y无关，是具有等效材料性能的结构在外力

7、作用下宏观尺度位移，这个宏观唯一可以有以下式确定：（2.9）式中，就是等效弹性张量。由下式得出：（2.10）式（1.13）和式（1.14）分别称为宏观均匀化问题和细观化问题。这里的广义唯一函数是以下问题的周期解。（2.11）式（2.10）和式（2.11）分别成为宏观均匀化问题和细观化问题。3均匀化方法的应用近年来，计算机技术的飞速发展为大规模的科学计算提供了可行性，计算力学技术也随之日益发展起来。均匀化方法作为计算复合材