保守系统中的不规则运动-Read

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1、第三章走向混沌的道路第五节保守系统中的不规则运动1．可积与不可积系统2．扰动与KAM定律现在研究如果系统受到扰动以后，它的环面将会发生些什么变化？设未受扰动的系统的运动是可积的，其哈密量为。受扰动的系统的哈密量为：(3-5-21)式中是一无量纲的参数，它的大小决定了扰动的强度。如果，表示扰动项很小。假定扰动是周期的，T为扰动周期，则有：(3-5-22)将展开成级数(3-5-23)为扰动频率，这里n,m是某整数。把式(3-5-23)代入运动方程(3-5-12)得：(3-5-24a)(3-5-24b)方程(3-5-24)解写成一般形式为：其中零级近似为：代入式(3-5-

2、24)得一级近似：(3-5-25)(3-5-26)式(3-5-25)中，与相差一相位常因子。式(3-5-25)的右边只是时间的函数，很容易积分：(3-5-27)将式(3-5-27)代入式(3-5-26)得：积分得：(3-5-28)我们已经知道，系统的运动频率与I有关，当在某个值上出现扰动频率与系统频率间的公度时，这有：或因为与有关，称为非线性共振。于是可以看到，当发生非线性共振时，(3-5-27)和(3-5-28)两式中分式的分母等于零，得到发散得结果，这就是著名的小分母发散问题。由此可见，扰动将对系统产生两种不同的影响。一是当出现非线性共振时，一个很小的扰动可将导

3、致有理环面发生重大改变，因为从相空间来看，共振相应于有理环面。这是一个非常复杂的变化，我们将在下一小节作专门讨论。二是非共振情况。非共振相应于无理环面，这时扰动会对无理环面产生怎样的影响呢？这是动力学的一个基本问题，虽然历史上很多人企图回答这个问题，但是直到1954年才由前苏联数学家哥尔摩格洛夫(Kolmogorov)提出了一个环面不变定理，这一定理后来为阿诺德(Arnold)所证明，而美国数学家莫瑟(Moser)在某些条件下也证明了该定理。因此现在常称该定理为KAM定理。不变环面守恒定理考虑的是一个近可积系统，即对一完全可积系统施加了一个很小的完全不可积扰动。KA

4、M定理说：如果扰动很小，大多数非共振的不变环面并不消失，只是发生一些微小的变形。满足KAM定理的绝大多数轨道，其运动仍然限制在N维环面上，环面上的运动仍然是准周期的。这些未被破坏的环称为KAM环。3.有理环面破裂与同（异）宿结构现在回到非线性共振对有理环面的影响上来。实际上(3-5-27)和(3-5-28)两式没有直接回答扰动是如何影响有理环面的。这个问题可以用数学的方法来解决，为此需要利用图3-34中的庞加莱截面。先说未受扰动时的情况。在给定能面中取=常数的庞加莱截面上，诸轨线与该截面的交点处在以=常数的圆上。一条轨线相继两次穿越截面的时间间隔为：因此，每次的改变

5、量为：于是就得庞加莱截面上点的运动是一二维映射，称为扭转映射：(3-5-29)当存在扰动时，扭映射变成，略去下标后有：(3-5-30)式中f与g由扰动项确定，但它的具体形式并不重要。图3-34在的作用下有理面发生破裂 我们考察扭映射与对有理环面的作用。为确定起见，我们研究绕卷数的有理环面，这里，n与m为不可约整数。记该有理环面为，它是一个由映射的不动点组成的圆。为了便于讨论，除以外，我们再考虑两条不变曲线，与，它们分别位于的两边。在的作用下，圆上的点刚好转动，曲线上的点转动小于，曲线的点就转动大于。因此看起来圆上的点是不动的，而圆上的点会在顺时针转动，圆上的点则在反

6、时针转动。现在看的作用。可以设想，在扰动项很小的情况下，的作用不会改变与圆上点转动情况，顺时针仍作顺时针转动，反时针的仍作反时针转动。于是可以想见，在每个常数的圆半径上，总存在着这样的点，它转动的角度刚好，它们只有径向运动而没有转动，将这些点连结起来，就构成了在的作用下的曲线。除了的闭合曲线以外，还有的映像的闭合曲线。由于这是保守系统，与曲线两者不仅保围的面积相等，而且相交，共有2m个交点。根据这些相交点附近点移动的走向，可以看到，其中一半是椭圆点，另一半是双曲点，它们相间地分布着如图3-34所示。现在注意一下绕那些椭圆不动点附近的一些较小有理环面，这里是一些区域较

7、小的规则运动。在扰动作用下，它们也将受到破坏。情况与上面讨论的相类似，扰动使其产生更高一级的椭圆不动点及围绕它们更较小一级的规则运动区。如此的破坏过程还会继续发展下去，以至产生规则与不规则运动交织在一起的无穷堪套的自相似结构。再注意一下扰动对双曲不动点附近产生出的影响。我们回忆一下无阻尼单摆或负线性恢复力的杜芳方程的相图，在这些相图上可以发现，通常有四条流线通过双曲不动点，其中两条流向双曲点，另两条则背离双曲点。在数学上这些流线称为不变曲线或流形(manifold)。值得注意，在那些相图上的流线是真正的相轨线，与那些相图上的情况稍有差别，现在这些双曲点出现在环面