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时间:2019-07-01
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1、一、不定积分的基本公式不定积分二、不定积分的基本运算法则三、直接积分法四、经典例题不定积分基本公式表当x<0时,所以当x>0时,所以综合以上两种情况,当x0时,得例1求不定积分解例2求不定积分.解先把被积函数化为幂函数的形式,再利用基本积分公式,(1)(2)得例3求不定积分解法则1两个函数的代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和,即二、不定积分的基本运算法则法则1可推广到有限多个函数代数和的情况,即根据不定积分定义,只须验证上式右端的导数等于左端的被积函数.证法则2被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号前面,(k为不等
2、于零的常数)证类似性质1的证法,有即例4求不定积分但是由于任意常数之和还是任意常数,其中每一项虽然都应有一个积分常数,解所以只需在最后写出一个积分常数C即可.求积分时,如果直接用求积分的两个运算法则和基本公式就能求出结果,三、直接积分法或对被积函数进行简单的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形),在用求不定积分的两个运算法则及基本公式就能求出结果,这种求不定积分的方法成为直接积分法.例5求解例6求解例7求解例9求解例10求解例11已知物体以速度v=2t2+1(m/s)作直线运动,当t=1s时,物体经过的路程为3m,求物体的运动规律.解
3、设所求的运动规律s=s(t),按题意有积分得将条件s
4、t=1=3,代入上式中,得于是物体的运动规律为常用微分公式例1求解例2.求解:例3.求解:例4.求f(x)=x2+1,x<0.解:F(x)=而要使F(x)成为f(x)在R上的原函数,必须F(x)连续,从而C1=0,C2=1,因此满足条件的函数为F(x)=故例5.例6.例7.例8.解:因为总成本是总成本变化率y的原函数,所以已知当x=0时,y=1000,例9.某厂生产某种产品,每日生产的产品的总成成本为1000元,求总成本与日产量的函数关系。因此有C=1000,作业:P137:5
5、(2)(5)(10)(15).例2.解:观察中间变量u=x2+1但u=x2+1的导数为u=2x在被积函数中添加2个因子u因此例3.解:uuduu=(x)例4.解:能想出原函数的形式吗?记得这个公式吗?如何用这个公式?例5.求解:例6解:例7求解例8求解熟练以后就不需要进行转化了例9求解例11求解正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂,齐次幂拆开放在微分号解例12求例13求例14求解例15求解说明当被积函数是三角函数相乘时,拆开奇次项去凑微分.例16求解利用积化和差公式,得解类似地可推出例17求[解]ò+xxdx1例18[解]dxxxò-
6、4cos42sin]19[例[解]dxxxxò+ln12ln]21[例[解]dxxexxxò++)1()1(]22[例例1解例2求解例3求解令注三角代换的目的是化掉根式.例4解例1求解令考虑到被积函数中的根号是困难所在,故例2解例3解例4解例5解配方3.倒数代换例1求令解例2求解令分母的次幂太高例3解例4解例1求积分解由万能公式例3求积分解(一)解(二)变形万能公式,令解(三)不用万能公式.结论万能代换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.例4求积分解例5解例6解例7解利用恒等变换5双曲代换积分中
7、为了化掉根式还可用双曲代换.令例3求积分解例4求积分解若被积函数是幂函数和对数函数的乘积,就考虑设对数函数为.例5求积分解令若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积,就考虑设反三角函数为u.例6求积分解例7求积分解复原法(回归法,循环法)!例7’解消去(超越函数)法!例8解递推关系可以由低次幂函数的积分计算出高次幂函数的积分.例9解例10求积分解用分部积分法,当积分过程常要兼用换元法与分部积分法。例11求积分解[解]解两边同时对求导,得连用分部积分法解:同理可求不定积分例14.[解]例16解例17解则记把真分式化为部分分式之和,再把上面
8、的待定的常数确定,这种方法叫待定系数法例1通分比较分子:代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例2例4求积分解例6求积分解令例10求积分解令例11求积分解令说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.例1例2三、其他典型例题解:解:(分子是分母的导数)凑导数法!!例3解:方法1例4例5ux=sin令被积函数为余弦的奇函数,采用正弦换元方法2本例也可以直接采用凑微分的方法例7例8例9解例10解例11解凑导数法!!例12解(倒代换,尽管可采用割换)例14解例15解凑整法例16解例18解例19解例20解凑导数法,双曲函数例21解例22解例2
9、3解
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