sh作品名称：天外飞来一笔摘要由於几何观念对於儿童智能发展中的

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1、作品名稱：天外飛來一筆摘要由於幾何觀念對於兒童智能發展中的空間結構及邏輯概念有很大的助益，故現在國中小在數學領域中，紛紛提早讓學童對於幾何圖形的課程的接觸，對於學齡兒童的數理能力的確也造就了更活絡的脈象，故就空間及圖形的問題及探討，非常適合國中小階段數學的啟蒙與發展，基於這樣的理念，設計了這個主題，與學生一起在問題中探索與成長，藉由日常生活中遇到的問題及情境，來讓學生融入數學的思維。壹、研究動機在偶然的機會中，看到地圖上錯綜複雜的路線，忽然突發奇想，想要在在小小的地圖上環繞這些路線，來一個手指與心靈上的旅遊，試過一遍又一遍的走法，每次都有不同的結果，此時，不禁開始思考，如何可以用最

2、快的方法，來走完全部的路線，數學上是否有類似的問題，可以來幫助我找到解答？(為幾何圖形單元裡「七橋問題」的推演)貳、研究目的1.一筆畫圖形的性質為何，如何推演？2.一筆畫圖形問題的收集與探討解析。3.一筆畫的問題在生活中要如何的應用？參、研究設備及器材教室、彩色圖卡、講義肆、研究過程與方法講述教學法、小組討論法、實物觀察法、設計問題法、實地戶外觀察伍、研究結果一、一筆畫圖形的性質探討偶點：把和偶數條線相連的點叫做『偶點』如圖：(圖一)(圖二)有兩條線相交於一點有兩條線相交於一點偶點的「次數」為2偶點的「次數」為4奇點：和奇數條線相連的點叫做『奇點』如圖：(圖三)(圖四)有三條線相交

3、於一點有五條線相交於一點奇點的「次數」為3奇點的「次數」為5(一)偶數個偶點(偶點的數量是偶數個)(圖五)(圖六)4個偶點10個偶點(圖七)(圖八)10個偶點16個偶點(圖九)(圖十)22個偶點28個偶點………………………………………………………….依此類推性質(1)：一個圖形如果可以找到偶數個偶點，那麼它就可以被我們一筆畫畫出來。我們已經歸納出「一個圖形如果可以找到偶數個偶點，那麼它就可以被一筆畫畫出來」這個性質。那我們實地以任一點為出發點來走走看，看看擁有偶數個偶點的圖形是否還有其他的性質。例如：(圖十一)(圖十二)回到原出發點回到原出發點性質(2)：從圖形的任意一點出發，經過

4、圖上的所有點，最後回到原出發點(也就是除了起點和終點外，其他的點都恰好經過一次)皆可以回到原出發點，且走法不只一種。操作途中發現的小訣竅：1.出發時以偶點的次數是2為理想的點。2.如果有一個偶點的次數是2，那麼與它相連的兩條邊都必須畫到。3.在把所有的偶點都畫到之前，畫出的路徑最好不要連成一個圈(一)奇數個偶點(偶點的數量是奇數個)(圖十三)(圖十四)三個偶點五個偶點其他的純粹奇數個偶點的複雜圖形繪製不易，固僅討論於此。(一)偶數個奇點(奇點的數量是偶數個)(圖十五)兩個奇點其他的純粹偶數個奇點的複雜圖形繪製不易，固僅討論於此。(二)奇數個奇點(奇點的數量是奇數個)：找不到此類的圖

5、形。(三)奇數個偶點、與2個奇點的探討(圖十六)(圖十七)兩個偶點、兩個奇點三個偶點、兩個奇點(圖十六)四個偶點、兩個奇點(圖十七)五個偶點、兩個奇點性質(1)：由以上的例圖得知，至多有兩個奇數點的圖形，必可以一筆描繪出來。(圖十八)(圖十九)奇點出發、回到奇點奇點出發、回到奇點(圖二十)奇à奇(圖二十一)奇à奇(圖二十一)奇(A)à奇(B)性質(2)：由以上的例圖得知，若某一個圖形洽有兩個奇點，那麼在描繪此圖時，可用其中一個奇點為起點，則而另一個奇點會是這個一筆劃圖形的終點。一、一筆畫圖形性質探討的結論1.     每一個圖形所包含的奇點個數必定是偶數，故奇數個奇點的圖形找不到。

6、2.     至多有兩個奇數點的圖形，必可以一筆描繪。4.     若某一個圖形洽若有兩個奇點，那麼在描繪此圖時，可用其中一個奇點為起點，而以另一個奇點做為終點。5.     若某一個圖形上所有的點都是偶點，那麼在描繪此圖時，可由任意點做為起點，而以原起點為終點。6.若某一個圖形可用一筆描繪，那麼只要我們掌握了起點，而且為走完的圖形仍然是連通圖形，這個圖就一定可以描繪完成。二、一筆畫圖形題目的賞析(一)Könisberg的七橋問題:ABCD德國舊普魯士城Könisberg(現為Kaliningrad)位於Pregel河兩岸,這個城的一部份為河中的兩個島,共有七座橋相通,如圖所示。城

7、中居民一直為一個問題所困擾著：是否可從某處出發經過每座橋恰只一次,然後再回到起點?他們將這問題求教於瑞士數學家尤拉(Euler),解決了這個問題,即是幾何上的一筆畫問題,稱為歐拉迴路(Eulertour)。(圖二十二)ABDC思考簡圖(圖二十三)：以奇點、偶點的觀點來判斷圖二十三中，A、B、C、D四個點皆為奇點，而根據我們對於一筆畫圖形探討之後所得的結論，如果超過兩個奇點的圖形，我們將不能用一筆畫將它完成，故我們亦不能在不重複的情況下，一次把七座橋給走完(圖二十三)(