经济数学--第二章极限与连续

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1、1、数列的定义:按某种规律以正整数编号排列的一列数记作称为数列。知识回顾2、数列极限的定性描述一个确定的常数A,增大时的极限，收敛于a或称数列记为或则称常数A为数列当n无限若当n无限增大时,或称数列发散则称数列的极限不存在，①C=C（常数列的极限就是这个常数）②设a>0，则特别地③设q∈(-1，1)，则qn=0；或不存在。几个常用极限2.1.3函数的极限自变量变化过程的六种形式:沿x轴的正向与负向同时无限远离原点沿x轴的正向无限远离原点沿x轴的负向无限远离原点x从x0点的左侧趋向于x0x从x0点的右侧趋向于x0x从x0点的两侧趋向于x0函数极限主要讲两个内容:1、自变量趋于无穷大时函数的极限2

2、、自变量趋于有限值时函数的极限1、自变量趋于无穷大时函数的极限直观定义:设在()时有定义,若无限增大时,无限趋近于确定常数A,则称时,以A为极限,记为由极限的直观定义可知所以f（x）=的极限是0记为：例：当时，研究f（x）=的极限。直观定义:设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外),若以任意方式趋近于时,无限趋近于确定常数,则称时,以为极限.记为2、自变量趋于有限值时函数的极限函数的左右极限的定义函数的左右极限统称为单侧极限记作：记作：函数的左右极限的定义定理：例设函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理结合图示法.因为显然所以不存在.讨论分段函数在分段点处的极限时，当分段点两侧函数表达式

3、不同时，要用左右极限讨论解：因为：2.2极限的运算法则则有法则1：若法则2：若则有法则3：若且B≠0,则有推论1.(C为常数)推论2.(n为正整数)特别：若则有例1求解：原式=例2求解：原式解　运用法则1、2及推论可得:例3因此解：因为例4，在分式里分母不能为0，所以要对分子和分母进行因式分解，得：作业3求解:时,分子分子分母同除以则分母原式一般的处理方法是先通分再运用前面介绍过的求极限的方法.例62.3极限存在准则与两个重要极限1.夹逼准则(两边夹定理）一极限存在准则定理Ⅰ如果函数g（x）、f（x）及h（x）满足下列条件:那么函数f（x）的极限存在,例1解由夹逼准则得2.单调有界准则单调增加

4、单调减少单调数列几何解释:证：(舍去).)n例2(的极限存在式重根证明数列二、两个重要极限1、BD<弧BC

5、一定是无穷小!其中为时的无穷小量.定理2.1.(无穷小与函数极限的关系)注：时结论也成立。定义2.若时,函数的绝对值无限增大，为时的无穷小大量.简称无穷大则称记为：2.4.2无穷大2、极限非零的变量与无穷大之积仍为无穷大3、无穷大与无穷小之积仍为无穷大无穷大的性质1、有界变量与无穷大之和仍为无穷大无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.2.在自变量的同一变化过程中,说明:例：求解(由无穷小与无穷大的关系)x=1时分母=0,分子≠0,因2.4.3、无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同

6、.不可比.观察各极限定义2.11：设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无穷小，记作=0（）是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小，记为~是的k阶无穷小等价无穷小替换定理2.3(等价无穷小替换定理)证常用等价无穷小:例1解例2解内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”4.无穷小的比较3.两个重要极限