《D35极值与最值》PPT课件

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1、二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法第五节机动目录上页下页返回结束函数的极值与最大值最小值第三章一、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.机动目录上页下页返回结束注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如(P147例4)为极大点,是极大值是极小值为极小点,机动目录上页下页返回结束定理2(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1

2、)“左正右负”,(2)“左负右正”,机动目录上页下页返回结束例.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为机动目录上页下页返回结束定理3(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.机动目录上页下页返回结束例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.机动目录上页下页返回结束二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法

3、:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值机动目录上页下页返回结束特别:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)机动目录上页下页返回结束例.求函数在闭区间上的最大值和最小值.(此例同P159例3）解:显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.机动目录上页下页返回结束(k为某一常数)例4.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条

4、已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,机动目录上页下页返回结束例5（利用求最小值的方法推导出光学中的折射定律），一束光当由空气中A点经过水面折射后到达水中B点，已知光在空气中和水中传播的速度分别是和，耗时最小的路径传播，试确定光线传播的路径，光线在介质中总是沿着解：由的传播时，，下面什么条件，确定x确定有最小值间由于令，由于，由零点定理有唯一根，即，且是在内的唯一驻点

5、又因而是的最小值点。若记则有——光学中折射定律（其中为入射角，为折射角）例6.把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高h和b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.机动目录上页下页返回结束存在一个取得最大利润的生产水平?如果存在,找出它来.售出该产品x千件的收入是例7.设某工厂生产某产品x千件的成本是解:售出x千件产品的利润为问是否故在x2=3.414千件处达到最大利润,而在x1=0.586千件处

6、发生局部最大亏损.说明：在经济学中称为边际成本称为边际收入称为边际利润由此例分析过程可见,在给出最大利润的生产水平上即边际收入＝边际成本（见右图）成本函数收入函数即收益最大亏损最大内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值定理3目录上页下页返回结束最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.思考与练习2.连续函数的最值1.设则在点a处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.

7、B提示:利用极限的保号性.机动目录上页下页返回结束2.设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:利用极限的保号性.机动目录上页下页返回结束3.设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A机动目录上页下页返回结束的连续性及导函数例4.填空题(1)设函数其导数图形如图所示,单调减区间为;极小值点为;极大值点为.提示:的正负作f(x)的示意图.单调增区间为;.在区间上是凸弧;拐点为提示:

8、的正负作f(x)的示意图.形在区间上是凹弧;则函数f(x)的图(2)设函数的图形如图所示,