系统零输入响应

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1、第2章连续信号与系统的时域分析本章知识点先导案例2.1系统微分方程的建立及算子表示2.2系统的零输入响应2.3单位冲激函数2.4系统的单位冲激响应和零状态响应2.5卷积积分2.6系统的时域分析法举例1.掌握微分方程的建立及算子表示。2.系统的零输入响应。3.单位冲激函数。4.系统的单位冲激响应和零状态响应。5.卷积积分。6.系统的时域分析法。返回第2章连续信号与系统的时域分析2.1系统微分方程的建立及算子表示2.1.4系统方程的算子表示法如上面所示，描写线性系统的激励函数和响应函数间关系的微分方程形式看起来很复杂，为了方便起见，把微

2、分算子用符号p来代表，如令，通过引入算子符号，可以把微积分方程在形式上变成代数方程。它的优点一是简化方程的列写(特别是联立方程消元)，一是通过引入系统转移算子H(p)的概念，便于形成系统分析的统一的方法。先引入算子的定义，再由定义导出其“运算”规则，最后介绍如何用算子法列写微分方程。上一页下一页返回2.1系统微分方程的建立及算子表示1.算子的定义1)微分算子p2)积分算子上一页下一页返回2.1系统微分方程的建立及算子表示例2-2用算子法表示下面的微分方程。解:根据微分算子与积分算子的定义，上式可表示为上一页下一页返回2.1系统微分方

3、程的建立及算子表示还可以将上式改写为对于n阶系统，若设y(t)为响应变量，f(t)为激励，则系统微分方程的一般形式为:用微分算子p表示则为或写为：又可写为：2.1系统微分方程的建立及算子表示式中：其中，b0～bm是常数，an-1～a0是常数D(p)称为系统或微分方程式的特征多项式2.1系统微分方程的建立及算子表示2.1系统微分方程的建立及算子表示例2-3利用广义微分算子与广义积分算子来表示下面的微分方程。解：由广义微分算子与广义积分算子可写微分方程的算子方程如下其中上一页下一页返回2.1系统微分方程的建立及算子表示5)转移算了H(p

4、）其意义为，若即表示上一页下一页返回2.1系统微分方程的建立及算子表示例2-4求下面微分方程的转移算子H(p)解：可将上述方程改写为根据转移算子的定义，上式可进一步表示为上一页下一页返回2.1系统微分方程的建立及算子表示也即2.算子的运算规则（1）由P的多项式所组成的运算符号可以像代数式那样相乘和因式分解。特殊情况：返回2.1系统微分方程的建立及算子表示特殊一：这里也像代数式中一样，分了分母中的p可以消去。但是这单除非x(-∞)=0，否则分母和分子中的p就不能消去。这表明在一般情况下，有上一页下一页返回2.1系统微分方程的建立及算子

5、表示特殊二：若将式两边积分，可得（c为积分常数）对于等式px=py，双方的算子p一般也不好消去。以上讨论说明，代数量的运算规则对于算子符号一般也可以用，只是在分子分母中或在等式两边中的算子符号不能随便消去。上一页下一页返回2.1系统微分方程的建立及算子表示3.算子方程组的消元为了要从一个n阶电路的n元一次算子方程组得到一个形式为的一元n阶算了方程，必须将原方程组中除响应变量.y(t)以外的其他未知量系统消去。在掌握了算子的运算规则之后，就可以较为方便地做到这一点。上一页下一页返回2.1系统微分方程的建立及算子表示例2-5列写图2-3

6、所示电路的算子方程组，并分别求出由激励f(t)至响应i1(t)与i2(t)的转移算子H1(p)与H2(P)。解:用网孔分析法列写电路方程组为了分别求得i1(t)，i2(t)与f(t)之间的关系，必须将另外一个变量消去。消去i2(t)，得到关于i1(t)的方程上一页下一页返回2.1系统微分方程的建立及算子表示即可得用同样的方法，可以将i1(t)消去，得到关于i2(t)的算子方程上一页下一页返回2.1系统微分方程的建立及算子表示即可得上一页返回2.2系统的零输入响应一、定义：系统在无外加激励作用下，仅由系统的初始状态所引起的响应称为系统

7、的零输入响应，记为yx(t)。系统的零输入响应完全由系统的结构与状态决定，而与激励信号无关。在式(2-8)中令f(t)=0，得到齐次方程yx(t)就是齐次方程(2-11)的解。下一页返回其中，D(p)称为系统的特征多项式，方程D(p)=0叫做系统的特征方程，特征方程的根称系统的特征根。先来讨论比较简单的一阶、二阶齐次方程的情况，然后推广至n阶方程。2.2系统的零输入响应2.2系统的零输入响应2.2.1一阶与二阶齐次方程的解一阶齐次方程的一般形式为即通过分离变量，上式可改写为上一页下一页返回2.2系统的零输入响应对两边积分得其中，k是

8、积分常数。从而可得其中，C=ek是待定系数，由系统的初始条件决定。例如，将初始状态yx(o)代入式(2-14)即可得上一页下一页返回2.2系统的零输入响应从而得到一阶齐次方程的解为二阶齐次方程的一般形式为其中，a,b是常数。其算子方程