数论的方法和技巧 02整点问题

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1、整点问题整点是指平面直角坐标系中纵、横坐标都是整数的点，又称为格点．整点问题是数论与解析几何相结合的产物，不仅有趣，而且富有技巧性．对于培养学生分析问题、解决问题的能力和训练思维的灵活性等很有好处，是考核数学竞赛参赛者的良好题材.1．整点多边形问题如果一个多边形的所有顶点都是整点，则称这个多边形为整点多边形·平面直角坐标系中是否存在整点正n边形？对于n=4，我们知道存在整点正方形，对于n=3，n≥5呢？例1证明：不存在整点正三角形．证反证法，，设平面上3个整点A，B，C组成一个正三角形·由于向上、下或左

2、、右平移整数个单位，整点仍然变为整点，因此不妨设A为原点，

3、AB

4、=r,B，C的坐标分别为（a，b），（x，y），其中a，b，x，y∈R如图8-5．于是因为a，b均为整数，且至少有一个不为零，所以x，y不可能均为整数，矛盾.因此不存在整点正三角形．例2证明：不存在整点正五边形·证设存在一个整点正五边形ABCDE，边长为a，如图8-6，易知边长a与对角线d的比满足由两点间的距离公式知，任意两个整点的距离的平方是整数，所以a2和d2均为整数，从而是有理数，但是上式右端是一个无理数，矛盾。因此，整点正五边形是

5、不存在的．下面我们给出本题的另一证法．设存在整点正五边形，在所有的整点正五边形中选出边长最短的一个，记作ABCDE，连接所有的对角线-得五边形如图8—7．易知五边形是正五边形．又因为为平行四边形，A，B，E是整点，令A，B，A1，E的坐标为则所以同理所以A1也是整点，同理，均为整点·这样就得到了一个比ABCDE边长更短的整点正五边形矛盾·我们用完全类似的方法可以证明整点正n边形不存在。整点多边形的内部及边界生的整点数目与面积之间有如下的关系。毕克(Pick定理)一个整点多边形的内部有n个整点，边界上有m

6、个整点，则此整点多边形的面积下面我们仅对一个两条边分别平行于坐标轴的直角三角形来验证毕克定理.如图8-8所示，将整点直角三角形ABC扩充成矩形ABCD.设AB和BC边上分别含有a个和b个整点（不包括端点），则AB=a+l，BC=b+l,于是设边AC上有c个整点（不包括端点）．由于矩形ABCD内的整点数目为ab，所以△ABC内的整点数△ABC边界上的整点数因此由毕克定理马上可以知道，任何一个整点三角形的面积不小于1/2．例3整点三角形ABC的边上除顶点外没有其它的整点，而且它的内部只有一令整点P．证明：P

7、是△ABC的重心·证由毕克定理知，由此可知P是3条中线的交点，即重心·如图8-9，事实上，由可推知于是所以D是BC边上的中点，即AD是BC边上的中线，同理P点在中线BE和CF上．例4证明：整点凸五边形的面积不小于.证整点可按它坐标的两个分量的奇偶性分成（偶，偶），（奇，奇），（偶，奇），（奇；偶）四类，于是5个整点中一定有两个点属于同一类型（抽屉原则），它们的中点M也是整点，由于是凸五边形，因此M在此五边形的内部或边界上．‘(1)若M在凸五边形的内部，根据毕克定理(2)若M在边界上，不妨设M在边P1P2

8、上，连接P3S,如图8-10，则整点凸五边形MP2P3P4P5的内部或边界上至少有一个整点（不包括顶点）．于是根据毕克定理，2．平面区域内的整点数例5求位于直线和横坐标轴形成的三角形内部和边界上的整点数·解如图8-11，函数当x取1，2,…，10时（注意，当时，)，得到y依次为于是，位于已知三角形（包括边界）中整点个数等于纵坐标的整数部分之和加上位于横坐标轴上的10个点的个数，即所以，三角形的内部与边界上共有37个整点，例6m是正整数时，在曲线和直线所围区域内（包括边界）所含有的整点有多少个？解抛物线和

9、直线交点的横坐标为方程的实根，即如图8-12所示，对于满足的整数与直线的交点Ai是整点与抛物线的交点是整点于是上的整点个数为所以区域内（包括边界）的整点总数为·下面介绍一个圆内整点问题．例7设a为正实数，在圆内的整点数记为证明：证:以圆内每个格点为左下方的顶点作边与坐标轴平行的单位正方形，因单位正方形的对角线长为所以这些正方形内任一点到原点(0，0)的距离不大于即所作的正方形均在圆内，从而这些单位正方形的面积和（等于圆内的整点数）不超过圆的面积从而右边不等式得证·对于圆内的任一点P，必有一个整点以，以A

10、为左下方顶点、边与坐标轴平行的单位正方形含P点·此正方形内的任一点与原点(0，0)的距离因此正方形在圆内．从而以圆内的整点为左下方顶点所作的在圆内的单位正方形全体覆盖了圆及其内部，因此左边不等式得证．3．其它例8在坐标平面上作一个凸集，使得它含有无限多个整点，但它与任何一条直线的交要么只含有限多个整点，要么不含整点．（注：平面上的一个点集称为凸集，若对此点集中的任意两点，连接这两点的线段仍在该点集中．例如；半平面、圆的内部、三角形区域、带形