椭圆的经典练习及答案

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1、椭圆几何性质典型练习例1椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．例3已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．例4椭圆上不同三点，，与焦点的距离成等差数列．（1）求证；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率．例5已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．例6已知椭圆，求过点且被平分的弦所在

2、的直线方程．例7求适合条件的椭圆的标准方程．例8椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．例9求椭圆上的点到直线的距离的最小值．例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标．例11设，，，求的最大值和最小值．30例12已知椭圆，、是其长轴的两个端点．例13已知椭圆的离心率，求的值．例14已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离．例15设椭圆(为参数)上一点与轴正向所成角，求例16设是离心率为的椭圆上的一

3、点，到左焦点和右焦点的距离分别为和，求证：，．例17　已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点例18　(1)写出椭圆的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积．例19已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证的面积与椭圆短轴长有关．例20　椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点)，求其离心率的取值范围．30椭圆简单几何性质答案例1椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当为长轴端点时

4、，，，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：∴，∴．说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求，求，再求比．二是列含和的齐次方程，再化含的方程，解方程即可．典型例题三例3已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为，由，得

5、，30∴，，，∴，∴为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆上不同三点，，与焦点的距离成等差数列．（1）求证；（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率．证明：（1）由椭圆方程知，，．由圆锥曲线的统一定义知：，∴．同理．∵，且，∴，即．（2）因为线段的中点为，所以它的垂直平分线方程为．又∵点在轴上，设其坐标为，代入上式，得30又∵点，都在椭圆上，∴∴．将此式代入①，并利用的结论得∴．典型例题五例5

6、已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在，设，由已知条件得，，∴，．∵左准线的方程是，∴．又由焦半径公式知：，．∵，∴．整理得．解之得或．①30另一方面．②则①与②矛盾，所以满足条件的点不存在．说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例

7、6已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求．解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为．代入椭圆方程，并整理得．由韦达定理得．∵是弦中点，∴．故得．所以所求直线方程为．分析二：设弦两端坐标为、，列关于、、、的方程组，从而求斜率：．解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得①－②得．⑤30将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．所求直线方程为．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点

8、差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；（2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别