北京大学ACM国际大学生程序设计竞赛课件1

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1、问题求解与程序设计第六讲动态规划李文新2004.2–2004.6内容提要3.27-4.3一周不上课做出题作业动态规划Adecorativefence-1037动态规划小结讨论–1014动态规划与递归程序相类，将对问题求解分解为对子问题求解；不同之处在于把子问题的解存起来，用空间换时间。例：Fibonacci数F(0)=0;F(1)=1;F(n)=F(n-1)+F(n-2);递归:F(n-1)和F(n-2)分别求到底一次动态规划：用数组将前n-1个数存起来，每次只用一个加法F[n]=F[n-1]+F[n-2]即可。问题Adecorativefence1037问题的出处中欧信息学奥林匹克

2、竞赛2002年6月30日-7月6日第一天:fenceAdecorativefence时限:1s内存:1MB问题描述漂亮的篱笆定义如下：篱笆由宽度相同，高度互不相同的木条组成组成篱笆的木条高低相间，错落有致篱笆的长度定义为组成篱笆的木条数目N，其中木条的高度取值（不按排列顺序）分别为1，2，…，N。把篱笆按其木条高度顺序记为：a1a2…aN，则可以对篱笆进行字典排序，例如：问题描述长度为4的漂亮篱笆排序为：12345678910问题描述给定篱笆长度N和在该长度下的序号C，要求给出第C中漂亮篱笆的形状。问题描述样例输入：22133样例输出：12231样例解释1212132132132132问

3、题解答问题分析对于长度为N的漂亮篱笆，其序列为：以高度为1的木条开始的上升序列以高度为2的木条开始的下降序列以高度为2的木条开始的上升序列以高度为3的木条开始的下降序列以高度为3的木条开始的上升序列……问题解答问题分析如果能够确定上述每一种序列的个数，就可以确定数字C落在哪个区间，从而确定其第一个木条的高度；则此时问题简化成N-1规模的问题，依照同样的方法可以确定第2个木条的高度，以此类推，可以确定所有木条的高度。问题解答递推公式令表示长度为N的漂亮篱笆中以高度为i的木条开始，呈下降趋势的篱笆的个数；令表示长度为N的漂亮篱笆中以高度为i的木条开始，呈上升趋势的篱笆的个数；则有公式：问题解

4、答（1）（2）（3）公式解释公式（1）：以1开始的下降序列为0个公式（2）：可以由下降序列的个数推出上升序列的个数，如下图：公式解释ix1x2x3x4x5x6x7N+1N-i+1iiiiiiiN-i+1公式解释公式（3）：在以j+1开始的下降序列中，第2个木条的可能取值是1,…,j;以它开始的序列是上升序列，如下图：公式解释j+11,2,…,jgoingdowngoingup问题解答根据递推公式可以生成两个数组up和down数组，如下：11120012000200000000011200120002updownN=1N=2N=3N=4N=1N=2N=3N=4i=1i=2i=3i=4i=1

5、i=2i=3i=4问题解答对于长度为N的漂亮篱笆，可以查表得到序列：以高度为1的木条开始的上升序列的个数n1以高度为2的木条开始的下降序列的个数n2以高度为2的木条开始的上升序列的个数n3以高度为3的木条开始的下降序列的个数n4以高度为3的木条开始的上升序列的个数n5……问题解答这样就可以根据给出的序号C,判断它落在哪一个序号区间，从而得知它的第一根木条的高度，去除第一根木条，余下的问题就是一个N-1难度的问题，可以使用同样的方法求解，直到最后一根木条的高度被确定，整个问题就解决了。问题解答这里需要注意的是，去掉第一根木条后，余下的木条中比第一根木条高的木条的高度要减一，才是完全的N-1

6、难度问题。动态规划小结递推公式存储结构及内容定义计算顺序从存储结构中还原问题的解讨论Dividing1014作业Dividing1014Adecorativefence1037提高