离散数学--6.2-3图的连通性

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1、6.2图的连通性6.2.1通路与回路初级通路(回路)与简单通路(回路)6.2.2无向图的连通性与连通度连通图、连通分支短程线与距离点割集、割点、边割集、割边(桥)点连通度与边连通度16.2图的连通性(续)6.2.3有向图的连通性及其分类可达性弱连通、单向连通、强连通短程线与距离2通路与回路定义6.13给定图G=(无向或有向的),G中顶点与边的交替序列=v0e1v1e2…elvl.若i(1il),ei=(vi1,vi)(对于有向图,ei=),则称为v0到vl的通路,v0和vl分别为通路的起点和终点,l为通路的长度.又若v0=vl,则称为回路.若通路(

2、回路)中所有顶点(对于回路,除v0=vl)各异,则称为初级通路或路径(初级回路或圈).长度为奇数的圈称作奇圈,长度为偶数的圈称作偶圈若通路(回路)中所有边各异,则称为简单通路(简单回路),否则称为复杂通路(复杂回路)3说明(1)表示方法①按定义用顶点和边的交替序列,=v0e1v1e2…elvl②用边序列,=e1e2…el③简单图中,用顶点序列,=v0v1…vl(2)在无向图中,长度为1的圈由环构成.长度为2的圈由两条平行边构成.在无向简单图中,所有圈的长度3.在有向图中,长度为1的圈由环构成.在有向简单图中,所有圈的长度2.4说明(续)(3)初级通路(回路)是简单通路(回路),但

3、反之不真初级通路非初级的简单通路初级回路非初级的简单回路5通路与回路(续)定理6.3在n阶图中,若从顶点u到v(uv)存在通路,则从u到v存在长度小于等于n1的初级通路.证若通路中没有相同的顶点(即初级通路),长度必n1.若有相同的顶点,删去这两个顶点之间的这一段,仍是u到v的通路.重复进行,直到没有相同的顶点为止.定理6.4在n阶图中,若存在v到自身的简单回路,则一定存在v到自身长度小于等于n的初级回路.6无向图的连通性与连通分支设无向图G=,u,vVu与v连通:若u与v之间有通路.规定u与自身总是连通的.连通图:任意两点都连通的图.平凡图是连通图连通关系R={

4、v>

5、u,vV且u与v连通}.R是等价关系连通分支:V关于R的等价类的导出子图设V/R={V1,V2,…,Vk},G的连通分支为G[V1],G[V2],…,G[Vk]连通分支数p(G)=kG是连通图p(G)=17短程线与距离u与v之间的短程线:u与v之间长度最短的通路(设u与v连通)u与v之间的距离d(u,v):u与v之间短程线的长度若u与v不连通,规定d(u,v)=∞.性质：(1)d(u,v)0,且d(u,v)=0u=v(2)d(u,v)=d(v,u)(3)d(u,v)+d(v,w)d(u,w)例如a与e之间的短程线:ace,afe.d(a,e)=2,d(a,h)=abcde

6、fghi8点割集与边割集设无向图G=,vV,eE,VV,EE.记Gv:从G中删除v及关联的边GV:从G中删除V中所有的顶点及关联的边Ge:从G中删除eGE:从G中删除E中所有边定义6.15设无向图G=,VV,若p(GV)>p(G)且VV,p(GV)=p(G),则称V为G的点割集.若{v}为点割集,则称v为割点.设EE,若p(GE)>p(G)且EE,p(GE)=p(G),则称E为G的边割集.若{e}为边割集,则称e为割边或桥.9实例说明：Kn无点割集n阶零图既无点割集，也无边割集.若G连通，E

7、为边割集，则p(GE)=2若G连通，V为点割集，则p(GV)2abcdefge1e2e3e4e5e6e7e8e9e,f点割集:{e},{f},割点:{c,d}桥:e8,e9边割集:{e8},{e9},{e1,e2},{e1,e3,e6},{e1,e3,e4,e7}10点连通度与边连通度定义6.16设无向连通图G=,(G)=min{

8、V

9、

10、V是G的点割集或使G-V成为平凡图}称为G的点连通度(G)=min{

11、E

12、

13、E是G的边割集}称为G的边连通度例如3(G)=3(G)=11点连通度与边连通度(续)说明:(1)若G是平凡图,则(G)=0,(G)=0

14、.(2)若G是完全图Kn,则(G)=n-1,(G)=n-1(3)若G中存在割点,则(G)=1;若G中存在割边,则(G)=1(4)规定非连通图的点连通度和边连通度均为0定理6.5对任何无向图G,有(G)(G)(G)12有向图的连通性及其分类设有向图D=,u,vV,u可达v:u到v有通路.规定u到自身总是可达的.u与v相互可达:u可达v且v可达uD弱连通(连通):略去各边的方向所得无向图为连通图