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1、高等数学教研室物理楼E1223主讲宋枚枚mmsong@tsmc.edu.cn高等数学下册第三节一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分※熟练掌握直角坐标系下三重积分的计算方法。※熟练掌握交换积分次序确定积分限的方法与步骤。※熟练掌握柱面坐标和球面坐标下计算三重积分。一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的“大化小,常代变,近似和,求极限”解决方法:质量M.密度函数为定义.设存在,称为体积元素,若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在

2、上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理.在有界闭域上连续,则存在使得V为的体积,积和式”极限记作二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:方法1.投影法(“先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度≈记作方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质

3、量为该物体的质量为面密度≈记作投影法方法3.三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:当被积函数在积分域上变号时,因为均为为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.z=0y=0x=00yxx0zy11Dxy1...x+2y+z=1DxyI=x+2y=1其中为三个坐标例1.计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面y2=xxyzo.例2

4、.y2=xxyzo.例2.z=0y=0xyzo。。0yxy2=x.D例2.2.利用柱坐标计算三重积分就称为点M的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面xzy0dρρρddz平面z元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d;半径为ρ及ρ+dρ的园柱面；平面z及z+dz；柱面坐标下的体积元素xzy0drrrddz底面积：rdrddz平面z+dz.元素区域由六个坐标面围成：半平面及+d;半径为ρ及ρ+dρ的园柱面；平面z及z+dz；柱面坐标下的体积元素xzy0dρρρddz底面

5、积：ρdρddzdV=..dV柱面坐标下的体积元素将三重积分化为三次积分1.Dxy:z=0用哪种坐标？.柱面坐标0xzyDxyI=1例3.计算0xzy1Dxy.Dxy:z=1锥面化为:r=z1...例4.计算当被积函数是积分域Ω由圆柱面(或一部分)、锥面、抛物面用所围成的.柱面坐标计算三重积分较方便.3.利用球坐标计算三重积分zyxorP’r就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系SrMyzx0r=常数:=常数:球面S动点M(r,,)Cr=常数:=常数:SS球面半平面P动点M(r,,)Myzx0P

6、=常数:锥面C.rdrdrsinxzy0圆锥面rd球面r圆锥面+d球面r+dr元素区域由六个坐标面围成：drsind球面坐标下的体积元素半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+drdrdxzy0drd元素区域由六个坐标面围成：rsind球面坐标下的体积元素半平面及+d；半径为r及r+dr的球面；圆锥面及+dr2sindrddsindrddr2rcos)dVdV=例4.r=a当积分区域是球形域或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面,被积函数具有

7、的形式时,用球面坐标计算三重积分较简便.或是球的一部分;)(222zyxf++三、三重积分综合应用2yxz6D2yxz6D四、三重积分的对称性算法解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,解积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;内容小结1.将用三次积分表示,其中由所提示:六个平面围成,思考与练习2.设计算提示:利用对称性原式=奇函数作业P1621(2),(3),(4);4;5;7;

8、8;9(2);*10(2);11(1),*(4)