D122数项级数及审敛法(V)

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1、二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法第十二章一、正项级数及其审敛法定理1.正项级数收敛部分和序列有界.定理2(比较审敛法)且存在对一切有是两个正项级数,(常数k>0),设(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数收敛,也收敛;发散,也发散.例1.讨论p级数(常数p>0)的敛散性.调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切证明级数发散.例2.定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞设两正项级数满足(1)当0

2、无穷小时,l的值反映了它们不同阶的比较.的敛散性.例3.判别级数的敛散性.例4.判别级数定理4.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散.说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数例9.讨论级数的敛散性.例5.判别级数的敛散性.例6.判别级数的敛散性.例7.判别级数的敛散性.例8.判别级数的敛散性.*定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项则级数,且时,级数可能收敛也可能发散.说明:例10.证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.并估计以部分和Sn近二、交错级数及

3、其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛三、绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.则称原级定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令例11.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.(

4、2)令因此收敛,绝对收敛.小结内容小结2.判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别部分和极限3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛作业P2681(1),(3),(5);2(2),(3),(4);*3(1),(2);4(1),(3),(5);5(2),(3)第三节思考与练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.备用题1.判别级数的敛散性:解:(1)发散,故原级数发散.不是p–级数

5、(2)发散,故原级数发散.2.则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析:∴(B)错;又C