D104对面积曲面积分

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1、第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分第十章一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得“大化小,常代变,近似和,求极限”的方法,量M.其中,表示n小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).求质定义:设为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对做任意分割

2、和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,叫做积分曲面.则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.则有•线性性质.在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法则曲面积分证明:由定义知而(光滑)说明:可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二

3、重积分.(见本节后面的例4,例5)例1.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,则例2.计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:设上的部分,则与原式=分别表示在平面例3.设计算解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为则思考:若例3中被积函数改为计算结果如何?例4.求半径为R的均匀半球壳的重心.解:设的方程为利用对称性可知重心的坐标而用球坐标思考题:例3是否可用球面坐标计算?例5.计算解:取球面坐标系,则例6.

4、计算其中是球面利用对称性可知解:显然球心为半径为利用重心公式例7.计算其中是介于平面分析:若将曲面分为前后(或左右)则之间的圆柱面解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.例8.求椭圆柱面位于xoy面上方及平面z=y下方那部分柱面的侧面积S.解:取例9.设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度h=36000km,运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.(地球半径R=6400km)解:建立坐标系如图,覆盖曲面的半顶角为,利用球坐标系,则卫星覆盖面积为故通讯卫星的覆盖面积与地球表

5、面积的比为由以上结果可知,卫星覆盖了地球以上的面积,故使用三颗相隔角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面.说明:此题也可用二重积分求A(见下册P109例2).内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.思考与练习P158题1；3；4(1);7解答提示:P158题1.P158题3.设则P184题2P158题4(1).在xoy面上的投影域为这是的面积!P159题7.如图所示,有P184题2.设一卦限中的部分,则有().(2000考研)1.已知曲

6、面壳求此曲面壳在平面z＝1以上部分的的面密度质量M.解:在xoy面上的投影为故2.设是四面体面,计算解:在四面体的四个面上同上平面方程投影域