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1、第五章不定积分§5.1不定积分的概念和性质§5.2基本积分表§5.3基本积分法§5.4有理函数及三角函数有理式的积分（约8学时）7/19/2021问题:求导运算是否有逆运算?它的逆运算是什么？讨论其逆运算的意义何在？2、已知曲线，求它的切线的斜率。如果我们讨论的是反问题，已知物体运动的瞬时速度，即速度函数，求物体的运动规律，即路程函数；已知曲线在每一点的切线的斜率，求此曲线。我们知道导数概念是一个非常重要的概念。它不仅仅是一种形式运算，在实际应用中是很有用的。例如:1、已知物体的运动规律，即路程函数，求物体的瞬时速度
2、;我们把求导的逆运算称为不定积分。7/19/2021微分学积分学--------两个相反的问题7/19/2021一、原函数（反导数）的定义定义1设定义在区间I上,若存在函数,有§5.1不定积分的概念和性质则称是已知函数在该区间I上的一个原函数（反导数）。例设ƒ(x)=cosx,则F(x)=sinx,sinx–1,…,sinx+C.1.原函数存在的条件?2.原函数的个数?3.不同的原函数之间的关系?问题:7/19/2021定理1若函数ƒ(x)在区间I上连续,则ƒ(x)在区间I上的原函数一定存在.(证明略)定理2设F(x
3、)是函数ƒ(x)在区间I上的一个原函数,则对任何常数C,F(x)+C也是函数ƒ(x)的原函数。证因证由拉格朗日中值定理得推论知定理3设F(x)和G(x)都是函数ƒ(x)的原函数,则F(x)–G(x)C(常数)7/19/2021注:当C为任意常数时,F(x)是ƒ(x)的一个原函数,则表达式F(x)+C可表示ƒ(x)的任意一个原函数,即：ƒ(x)的全体原函数所组成的集合，就是函数族:7/19/2021结论:若F(x)是函数ƒ(x)的一个原函数,则其中∫称为积分号,ƒ(x)称为被积函数,x称为积分变量,ƒ(x)dx称为被积
4、表达式。“∫”亦由莱布尼兹所创，它是德语中“总和”Summe的第一个字母s的伸长。定义2函数ƒ(x)的全体原函数称为ƒ(x)的不定积分。二、不定积分的定义C为任意常数,并称C为积分常数。记为7/19/2021例1求下列不定积分7/19/2021例2已知的一个原函数是,求常数k.（1）求不定积分就是被积函数的一个原函数.（2）不定积分是全体原函数的一般表达式.最后结果中不要忘记积分常数C.（3）求不定积分的方法称为积分法.说明：7/19/2021例3F(x)是f(x)的一个原函数，满足证由知(a,b为常数且a≠0).7
5、/19/2021y=F(x)函数ƒ(x)的一个原函数,称y=F(x)的图形是ƒ(x)的一条积分曲线;而是ƒ(x)的原函数一般表达式,所以它对应的图形是一族积分曲线称它为积分曲线族,其特点是:(1)积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条(如y=F(x))沿y轴平行移动
6、c
7、个单位而得到.(如图)当c>0时,向上移动;当c<0时,向下移动.oxyxy=F(x){
8、c
9、三、不定积分的几何意义7/19/2021oxyxy=F(x)(2)即横坐标相同点处,每条积分曲线上相应点的切线斜率相等,都为ƒ(x).从而相应点的切线相互平
10、行.注:当需要从积分曲线族中求出过点的一条积分曲线时,则只须把代入y=F(x)+C中解出C即可.7/19/2021例4已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标的倒数,且过点求此曲线方程。解设所求曲线为y=ƒ(x),则故所求曲线为y=ln
11、x
12、+27/19/2021性质1四、不定积分的性质证明：注:微分运算与积分运算是互逆的.证明：乘积关系7/19/2021即性质3的推广性质2性质3证是ƒ(x)±g(x)的原函数.7/19/2021例5已知,求函数ƒ(x).解7/19/2021
