ch3-1微分中值定理

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1、3．1微分中值定理3．2函数单调性与曲线的凹凸性3．3函数的极值与最值3．4函数图形的描绘3．5洛必达法则3．6泰勒（Taylor)公式Ch3导数的应用第一节微分中值定理洛尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理费马定理设函数f(x)在[a,b]上有定义，并且在点c(a,b)取到最值，f(x)在点c可导，则f(c)=0。证明：不失一般性。设f(x)在点x=c取到最大值，则f(x)f(c)，x(a,b)。从而f(c)=0。引理一、罗尔(Rolle)定理例如,几何解释:证罗尔定理的三个条件，缺一不可.例如,又例,注:罗尔定理结

2、论均不成立.不满足条件(3),不满足条件(1);不满足条件(3),不满足条件(1);例1验证洛尔定理对函数f(x)=sinx在[0,]上的正确性。解：∵f(x)在[0,]上连续，在(0,)上可导，且f(0)=f()∴由洛尔定理知：在(0,)内至少有一点，使f()=0，即:cos=0,故=/2。例2证由零点定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理作辅助函数拉格朗日中值公式证法二F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,由R-定理知:注意:拉氏公式精确地表

3、达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.微分中值定理拉格朗日中值公式的有限增量公式形式：证明：设x1,x2是(a,b)内任意两点，由拉格朗日定理有(在x1,x2之间)由x1,x2的任意性知:f(x)=常数,x∈(a,b).定理得证设如果对任意的x∈(a,b)都有f(x)=0,则f(x)在(a,b)内恒为一常数.推论例5证例6证由上式得例7三、柯西(Cauchy)中值定理几何解释:证1作辅助函数特别证2柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率曲线上到弦AB的距离最

4、远点处的切线平行于ABAB弦的方程：曲线上点M(g(x),f(x))到AB弦的距离为柯西定理证明分析曲线上到弦AB的距离最远点处的切线平行于AB柯西定理证明作辅助函数对任意x有；由费马引理知，例8例9证一结论可变形为证二例10设f(x)在[a,b]上可微，且ab>0，求证：(a<ξ

5、；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.思考证明解答2o对f(x)在[b,a]上用拉格朗日公式,即证明1o由所要证明的不等式选定一函数f(x)及定义区间:令f(x)=lnx,x∈[b,a].思考证解费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要

6、的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,