不定方程妙解“2009”

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1、26数学通讯——2OO9年第1，2期(上半月)·辅教导学·不定方程妙解“2009”陈东(甘肃省高台县第一中学，734300)关于不定方程的解的组数问题，有以下B的映射，问满足厂(a)≤厂(6)≤厂(c)≤两个结论：_厂()≤L厂(g)的映射共有多少个?结论1不定方程z++z十⋯+解析从集合A到集合B的映射中满z一(，1"l∈N)，则此方程的正整数解有足_厂(口)≤厂(6)≤，(c)≤厂()≤厂(P)的映C组．射个数，相当于把5个相同的小球放人2009结论2不定方程aT1+z2+z+⋯+个不同盒子里的放法，等价于不定方程z+z2+z3+⋯+2oo9=5(zf≥0，i一1，2，3，,32一

2、m(m，∈N)，则此方程的非负整数解⋯有C。组．，2009)的非负整数解的组数．由结论2可灵活应用不定方程解的组数，可以方便知，此不定方程的非负整数解有C⋯ZOO；组，即地解决一些排列组合中的计数问题．C2ol：}组，所以满足条件的映射共有Cl01={个．例1从lO所学校选出2009名学生进例4将2009个相同的小球放入2O个行团体操表演，每校至少选1人的选法种数编号分别为1，2，3，⋯，20的盒子里(每次要把2009个小球放完)，要求盒子里小球的个是多少?解析设从lO所学校选出的学生人数数不小于盒子的编号数，这样的放法有多少种?分别为921，z2，⋯，工1o，则1+2+⋯+z10==

3、：解析10+1+2+⋯+l9一2009，其中z≥1(===1，2，⋯，10)．由结论1可知，此不定方程的正整数解：190，先取出190个小球，在厶有C2组．而每一种选法与此不定方程的一1，2，3，⋯，2O号盒子里分别放入0，1，2，3，组正整数解是一一对应的，所以选法种数有⋯，l9个小球，然后将余下的1819个小球放C。。8种．入20个不同盒子(没有空盒)，放法数等于不例2(a+b+c+d)。的展开式中有定方程zl+2+z3+⋯+z2o一1819(z≥多少个不同的项?1，一1，2，3，⋯，2O)的正整数解的组数，由解析(n+b+f+d)。。的展开式中各结论1可知，有C；组．项均可表示为

4、“tCa"。d的形式，且1十z2所以满足条件的放法有C}：。种．+z3+X4—2009，其中zi≥0(==1，2，3，4)．解析21+2+3+⋯+20一由结论2可知，此不定方程的非负整数十一一210，先取出210个小球，在解有C组，而每一组非负整数解与(“+b厶十C十d)。∞的展开式中的项是一一对应的，1，2，3，⋯，2O号盒子里分别放入1，2，3，⋯，所以(“+b+f+)肋的展开式中有CiⅢ个2O个小球，然后将余下的1799个小球放入不同的项．2O个不同盒子(盒子可空)，放法数等于不定例3已知A一(“，b，C，d，)，B一(1，方程zl+2+．723+⋯+2o：1799(，≥0，2，

5、3，⋯，2009}’．厂：A—B是从集合A到集合(下转第28页)数学通讯——2OO9年第1．2期(上半月)·辅教导学·练习：构造特称命题：jz。∈(O，1)1．已知圆M：(z+cos0)+(—sin0)，使得一1，直线z：Y=妇，下面四个命题：f(xo)+2≥logzo．①对任意实数彘和8，直线f和圆M其否定为全称命题一：Vz∈(O，1)，相切．②对任意实数点和，直线Z和圆M有公使得厂()+2l时，Vz∈(o，丢)，I。gz0，

6、不满足。+z

7、上接第26页)个数，第三部分至少有2个数，第四部分至少=l，2，3，⋯，20)的非负整数解的组数，由有1个数，第五部分可以没有数．结论2可知，有cll。组．．设第一、二、三、四、五部分数的个数分别所以满足条件的放法有cll。种．为z1，2，z3，4，z5，则l+2+3+z4+z5例5已知集合P一{l，2，3，⋯，：2009，其中l≥l，z2≥3，3≥2，4≥l，2009)，P的子集A={n1，a2，n3，口)，其中“1z5≥0．