圆的标准方程课件(北师大版必修二)

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1、世界上较大的摩天轮中坐落于泰晤士河畔的英航伦敦眼(BALondonEye)，距地总高达135m.然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在排行上应该与重力式的FemisWheel分开来计算，因此世界上最大的重力式摩天轮应是位于日本福冈的天空之梦福冈(SkyDreamFukuoka,SDF)，是座轮身直径112m，离地总高120m的摩天轮．中国最高的摩天轮“南昌之星”位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市人民公园，是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为160m，转盘直径为153m，比位于英国泰晤士河边的135m高的“伦敦之眼

2、”摩天轮还要高，成为世界上较高的摩天轮之一．如何写出圆的方程呢？问题1：在平面直角坐标系中，确定圆的几何要素是什么？提示：圆心和半径．问题2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，到点(1,2)的距离等于1的点(x，y)的集合怎样用方程表示？提示：方程表示(x，y)到(2,0)的距离等4.(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r2定长1．根据圆的定义，确定圆的条件是两个：即圆心和半径，只需确定了这两者，圆就被唯一确定了．2．圆的标准方程中具有三个参变量a，b，r，因此确立圆的方程需三个独立的条件，根据条件列出以a，b，r为变量的方程组

3、，解方程组求出a，b，r的值即能写出圆的标准方程．3．点到圆的位置关系的判断给出点M(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，通过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，得到：(1)点M在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点M在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点M在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2

4、A(0，－4)，B(0，－2).[思路点拨]首先确定圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程．[一点通]直接法求圆的标准方程，就是根据题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两个几何要素，然后代入标准方程．1．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．(1)x2＋y2＝4；(2)x2＋(y－2)2＝a2(a≠0)；(3)(x－3)2＋y2＝b2(b≠0)；(4)(x＋3)2＋(y＋4)2＝12.解：(1)原方程化为(x－0)2＋(y－0)2＝22.所以圆心(0,0)，半径r＝2.(2)原方程可化为(x－0)2＋(y－2)＝a2(a≠0)．所以圆心为

5、(0,2)，半径r＝

6、a

7、.[例2]一圆过原点O和点P(1,3)，圆心在直线y＝x＋2上，求此圆的标准方程．[思路点拨]利用代数法，构造方程求解a、b、r，或者利用几何法找出圆的圆心和半径．[一点通]求圆的标准方程一般有两种思路：一是用待定系数法，二是几何法．1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是：①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；③解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到圆的方程．2．几何法主要是根据已知条件，抓住圆的性质，构造几何图形

8、确定圆心和半径．3．△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求它的外接圆的方程．4．求过点A(2，－3)，B(－2，－5)且圆心C在直线x－2y－3＝0上的圆的方程．[例3]已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P、Q为直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．[思路点拨]确定圆心、半径，写出圆的标准方程，求出点到圆心的距离，作出判断．[一点通]求圆的方程，只需确定圆心和半径就可以写出其标准方程；判定点与圆的位置关系，可以判定该点与圆心的

9、距离和圆的半径的大小关系，也可将该点坐标代入圆的方程判断．答案：(7，＋∞)6．判断四点A(4,2)，B(5,0)，C(3,2)，D(3,6)是否在同一个圆上．1．确定圆的标准方程的方法(1)直接法：直接确定圆和半径，适合易确定圆心和半径的圆；(2)待定系数法：大部分求圆方程的题目均可以使用；(3)几何法：充分利用平面几何的知识，结合交点问题和距离公式求解．条件方程形式过原点，圆心为(a，b)(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)

10、圆心在x轴上且过原点(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)圆心在y轴上且过原点x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)2.对于特殊位置的圆的方程与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与y轴