项目研究报告

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1、项目研究报告课题名称实变函数在数学分析等相关学科中的应用单位曲阜师范大学数学科学学院08级数学与应用数学专业指导教师钱爱侠课题组员赵贝贝王欢王艺白雪芦蕊日期2011年10月23日一.项目的立项依据及当前国内同类课题研究水平概述（1）立项依据由于实变函数与数学分析有着比任何课程更为密切的关系，将两门课程结合起来，不但能降低实变函数的学习难度，而且对两门学科的知识有了更加深入透彻理解。（2）研究水平本小组在1979年至2011年，仅查到一篇相关的中文文章--《浅议实变函数与数学分析间的联系》(绍兴文理学院数学系倪仁兴

2、，全文共三页)，而该文章则只是简单概括的分析介绍实变函数与数学分析间的某些联系。二.项目的研究目标、研究内容以及解决的关键问题（1）总体目标浅议实变函数与数学分析间的联系，降低实变函数的学习难度，同时对实变函数与数学分析中的知识理解的更加深入透彻。（2）研究内容主要分为三个方面的内容。首先通过理论与实例说明数学分析的内容与方法是研究实变函数的重要工具；其次根据实变函数理论透视数学分析；再从某些理论方面出发对比联系两门学科的相关识识。（3）解决的关键问题将实变函数与数学分析两门学科相互交融，从不同角度深入透彻的分析

3、同一问题。三.采取的研究方法、技术路线和实验方案及可行性分析（1）研究方法从特殊到一般，从具体到抽象。（2）技术路线和实验方案查阅资料—分析讨论—总结—成文—修改—定稿（3）可行性分析该组成员学习了实变函数课程以及数学分析课程，并且指导教师主要负责研究实变函数方面知识，该理论研究具有很强的可行性。四.本项目的特色和创新之处特色：由于实变函数的抽象性及深入性，使得其学习的过程十分枯燥困难。本小组成员较全面系统地总结出实变函数与数学分析两门课程间的联系，不仅对本科生的学习有一定的帮助，而且进一步加深了对两门学科的认识

4、与了解。创新：基于当前对本课题研究的缺乏性，本小组深入探究课题--实变函数与数学分析间的联系，大胆地提出自己的见解。五.研究的主要成果作论文一篇《浅议实变函数与数学分析间的联系》，以呈现我们的观点。本论文先从两个不同的角度进行浅析实变函数与数学分析间的联系：首先通过理论与实例说明数学分析的内容与方法是研究实变函数的重要工具；其次根据实变函数理论透视数学分析。再从某些理论方面出发对比联系两门学科的相关知识，使得抽象的理论内容更加深入鲜明。论文主要内容如下：（一）．实变函数内容简介（二）．实变函数与数学分析间的联系1

5、.数学分析的理论是研究实变函数的重要工具1.1运用数学分析中连续函数的性质理解证明实变函数问题1.1.1运用数学分析中连续函数的局部保号性证明实变函数中定义的开集闭集的有关问题1.1.2运用数学分析中连续函数的介值性定理巧妙证明实函数中的测度问题1.1.3运用数学分析中复合函数的连续性定理解决实变函数中的可测函数相关问题1.2运用数学分析中数列及函数极限的定义及性质证明实变函数中某些问题1.2.1运用数学分析中数列子列收敛性质分析并证明可测集及可测函数问题1.3运用数学分析中函数列收敛的定义及性质证明实变函数中某

6、些问题2．利用实变函数理论透视数学分析3.理论知识的联系及对比3.1“连续”定义的区别3.2数学分析中导数与实变函数中列导数的联系及对比.3.3原函数存在条件的不同3.4实变函数中L积分的三大极限定理与数学分析中函数项级数重要性质的对比3.5闭区间[a,b]上的单调函数的性质在数学分析与实变函数中的差异3.7实变函数与数学分析中函数分部积分条件的不同3.6实变函数与数学分析中函数存在不定积分条件的不同3.8对数学分析中R积分对达布定理成立，而对实变函数中的L积分而言，达布定理不一定成立该组成员认真分析总结，基本完

7、成了预期目标，得到论文一篇。由于我们水平非常有限，恳请读者加以批评、指正。